数值分析讲稿8_黑白).pdf

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1、§4.高斯消去法的变形二、平方根法工程实际计算中，线性方程组的系数矩阵常常具有对称正定性，即其各阶顺序主子式及全部特征值均大于零。矩阵的这一特性使它的三角分解也有更简单的形式，从而导出一些特殊的解法，如平方根法与改进的平方根法。定理：设是对称正定矩阵，则存在唯一的非A奇异下三角阵使得L,TALL且的对角元素皆为正。L定理证明（1）证：因对称正定，其各阶顺序主子式均大于零，故有AALU其中为单位下三角矩阵，为上三角阵。LU1令Ddiagu(,,),LuPDUP,则为单位上三角阵。11nnu12u1n1Luu1112Luu1n11uu1111

2、uuLMOOU2222DPOMOOunn1,uuunnnnnn1,11TTT故ALULDPAPDLTT由LU分解的唯一性PLAPDP定理证明（2）由于是对称正定的其顺序主子式均大于零。故A,uD0,uDD/0(i2,3,L,)n111iiii1T令Ddiagu(,,)LuDDD11nnTTTTT则APDPPDDP()DPDPLLT其中LD()P为非奇异下三角阵且对角元素皆为正数。,唯一性：假定存在非奇异下三角阵GL,其对角元TT素皆为正数，且使得A

3、LLGG于是有TT11TT11TT11LG()LLLG()LGGG()LGTT11因()LG为上三角阵，LG为下三角阵，故由上式得TT11LG()LGI即GL,与假设矛盾。平方根(Cholesky分解法）法ll1100LL11l21ln1llOM0lLl由ALLT212222n2MMO0MOOMllnn12LLlnn00lnn其中li0(1,2,L,).n由矩阵乘法及l0(当jk时),iijkj1122laljj()jjjk(j1,2,L,n),k1得

4、j1lalij()ijikllijjk/jj(1,L,);nk10这里规定0。计算顺序是按列进行，即k1ll(2i,3,,)LLnll(3i,,)nL。11ii1222当矩阵完成平方根分解后，求解AAxb，即求解两个三角形方程组T(1)Lyb,求y;2（）Lxy，求x.i1yblii()ikyliki/i(1,2,L,n).k1nxyii()lkixlink/ii(,n1,L,1).ki13由于的对称性，平方根法的乘除运算量为An/6数量级，约是Gauss消去法的一半。上机计算时，所需存储单元也少，只要

5、存储的下三角部分和右端项，计算中存AbL放在的存储单元，Ay,x存储在的存储单元。b但这种方法在求时需作次开方运算，这样又增加了Ln计算量。为了避免开方，可使用改进的平方根方法。改进平方根法1d1ld1ALDLT212MOOllnn12L1dn1ll21Ln11ln2OM1其中llj1,0(k),由比较法得jjjk对于in1,2,L,,i12daiiildikk;k1i1lal()dldjin/(1,L,).jijijkkikik1上式虽避免了

6、开方运算，但增加了相乘因子，引进变量tld对于i1,2,L,,n有ikikki1daiiitlikik;k1i1lat()ldjin/(1,L,).jijiikjkik1TT对称正定矩阵按ALDL分解和按LL分解计算T量差不多，但LDL分解不需要开方计算。T求解LybDLx,y计算公式yb;11i1ybiilyiikk(2,,)Ln.k1xyd/;nnnnxydiii/(lxinkik1,L,2,1).ki1三、追赶法在数值计算中，如三次样条插值或用差分方法解常微分方程边值问题

7、，常常会遇到求解以下形式的方程组bc11xd11abcxd22222OOOMMabcxd简记Axd.iiiiiOOOMMabcxdnnnn1111n1abxdnnnn此系数矩阵的非零元素集中分布在主对角线及其相邻两次对角线上，称为三对角矩阵。方程组称为三对角方程组。定理：设三对角方程组系数矩阵满足下列条件：bc011bacaci0(2,3,L,n1)i