数值分析讲稿4_黑白).pdf

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1、第三章函数逼近与计算§1引言与预备知识•1.问题的提出用插值的方法对这一函数进行近似,要求所得到的插值多项式经过已知的这n＋1个插值节点;在n比较大的情况下,插值多项式往往是高次多项式,这也就容易出现振荡现象（龙格现象），即虽然在插值节点上没有误差,但在插值节点之外插值误差变得很大,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”。于是,我们采用函数逼近的方法。所谓函数逼近是求一个简单的函数yPx(),例如Px()是一个低次多项式,不要求yPx()通过已知的这n＋1个点,而是要求在整体上“尽量好”的逼近原函数。

2、这时,在每个已知点上就会有误差f()()xPkkxk0,,,,,12nL,函数逼近就是从整体上使误差f()()xPkkxk0,,,,,12nL尽量的小一些。•2.数学描述“对函数类A中给定的函数fx()，要求在另一类较简单的便于计算的函数类B中，求函数P()xBA，使P()x与fx()之差在某种度量意义下最小。”函数类A通常是区间上的连续函数，记作Cab[,]；函数类B通常是代数多项式，分式有理函数或三角多项式。区间[,]ab上的所有实连续函数组成一个空间，记作Cab[,]。fCab[,]的范

3、数定义为:fmaxfx()axb称其为—范数，它满足范数的三个性质：I）f0，当且仅当f0时才有f0；II）ff对任意fCab[,]成立，为任意实数；III）对任意fg,[Cab,]，有fgfg.度量标准最常用的有两种，一种是f()xPx()max()fxPx().axb在这种度量意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近；另一种度量标准是b2f()xPx()2[()fxPxx()]da用这种度量的函数逼近称为均方逼近或平方逼近。这里符号及2是范数。

4、本章主要研究在这两种度量标准下用代数多项式Pxn()逼近f()xCab[,]。•3.维尔斯特拉斯定理用Pxn()一致逼近fx(),首先要解决存在性问题，即对[,]ab上的连续函数f()x,是否存在多项式Pn()x一致收敛于fx()？维尔斯特拉斯（Weierstrass）给出了下面定理：定理1设f()xCab[,]，则对任何0,总存在一个代数多项式P()x，使fxPx()()在[,]ab上一致成立。证明：略。（伯恩斯坦构造性证明）假定函数的定义区间是[0,1],可通过线性代换:tbaxa(

5、)把x[0,1]映射到tab[,]。对给定的fxC()[0,1]，构造伯恩斯坦多项式,此为n次多项式:nkBnk(,)fxfPx()k0nnnknkPx()1其中Pxk()x(1)x，且kkk0这不但证明了定理1，而且给出了f()x的一个逼近多项式Bfxn(,)。多项式Bfn(,)x有良好的逼近性质，但它收敛太慢，比三次样条逼近效果差得多，实际中很少被使用。§2最佳一致逼近多项式2-1最佳一致逼近多项式的存在性切比雪夫从另一观点研究一致逼近问题，他不让多项式次数

6、n趋于无穷，而是固定n，记次数小于等于n的多项式集合为H,显然HCn[,]ab。nnn记是Hspanxxxx{1,,,},1LL,,,[,]ab上一n组线性无关的函数组，是Hn中的一组基。Hn中的元素Pxn()可表示为nP()xaaxLaxnn01其中aa01,,,Lan为任意实数。要在Hn中求*Pn()x逼近f()xCab[,]，使其误差*maxf()xPx()minmaxfxPx()()nnaxbPHnnaxb这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题。为了说明这一概念，先

7、给出以下定义。定义1Pnn()xHfxCab,()[,]，称(,)fPfPmax()fxP()xnnnaxb为f()xPx与n()在[,]ab上的偏差。显然(,)0,(,)fPfnnP的全体组成一个集合，记为{(,)}fPn,它有下界0。若记集合的下确界为Efinf{(,P)}infmaxf()xP(),xnnnPHnnPHnnaxb则称之fx()为在[,]ab上最小偏差。定义2假定f()xCab[,]，若存在**PxH(),(,)fPE,nnnn*则称Pn

8、()x是f()x在[,]ab上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。注意，定义并未说明最佳逼近多项式是否存在，但可证明下面的存在定理。*定理2若f()xCab[,],则总存在Pnn()xH，*使f()xPx()E.nn证明略。2-2切比雪夫定理为研究最佳逼近多项式的特性，先引进偏差点定义。定义3设f()xCabPxH[,],()n，若在xx0上Px()()ma