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1、2012/10/25§3.QR方法可证，在一定条件下，基本QR方法产生的矩阵序一、基本QR方法列{A()k}“基本”收敛于一个上三角阵（或分块上三角60年代出现的QR算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与阵）。即主对角线（或主对角线子块）及其以下元素均特征向量的最有效方法。实矩阵、非奇异。收敛，主对角线（或主对角线子块）以上元素可以不收()k理论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和敛。特别的，如果A是实对称阵，则{A}“基本”收一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元符号取定时，分解是敛于对角矩阵。唯一的。基本QR方法的基本思想
2、是利用矩阵的QR分解通过迭代格式因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵中，ìA()k=QR主对角线子块的特征值）即为该矩阵的特征值，故当kkkí(k=1,2,L).A()k(k+1)充分大时，的主对角元（或主对角线子块的特征值）îA=RQkk就可以作为A的特征值的近似:(1)将A=A化成相似的上三角阵（或分块上三角阵），从而求出()k矩阵的全部特征值与特征向量A。(A-l)u=0(1)-1(2)-1(2)由A=A=QR,即QA=R。于是A=RQ=QAQ,即A1111111基本的QR方法的主要运算是对矩阵QR分解，分解与相似A。的方法有多种。
3、介绍一种Schmit正交化方法。()k同理可得，A:A(k=2,3,L)。故它们有相同的特征值。'即a=a,bb+L+a,bb+bb,kk11kk-1k-1kk设A为n阶非奇异实矩阵，记A=[,aa,L,a],其中12n于是A=[a,a,L,a]=[bb,,L,b]g12n12nTaj=(a1j,a2j,L,anj),j=1,2,L,.néa1a2,b1Lan,b1ùêú''aa2,1êb2Lan,b2ú取b1=a1/a1.b2=a2-abb2,11=a2-2a1êúaêOMú=QR1êb'a,búaa,aa,aa,aa,ên-1nn-1ú
4、21'212111=a2-a1Þbb1,2=-=0êb'úaa1,1a1aa1,1a1ënûÞb^b'取b=b'/b',则b=b=1,bb,=0.这就是用Schmit正交化方法对矩阵进行的QR分解。122221212k-1基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解与矩阵乘法，计算'''一般地取bk=ak-åabbk,ii,bk=bk/bk(k=2,3,Ln)量大，而且收敛速度慢。因此实际使用的QR方法是先用一系列相i=1似变换将A化成拟上三角矩阵（称为上Hessenberg矩阵），然后对则向量组bb,,L,b正交，且b=1(k=1,2,Ln),
5、此矩阵用基本QR方法。因为拟上三角矩阵具有较多零元素，故可12nk减少运算量。化A为相似的拟上三角阵的方法有多种。é2-10ù例:用Schmit正交化方法对A=-ê12-1ú进行QR分解.所以A=[,aa12,L,an][,,=bb12L,]bngêúêë0-12úûéaab,Lab,ù121n1TTTêú解:a=(2,1,0),-a=-(1,2,1),-a=(0,1,2).-'123êb2Labn,2úa121Têú因而有b1==(,-,0),êOMúa1255êb'ab,ú'T421T36Tên-1nn-1úb=a-abb,=-(1,2
6、,1)-+(,-,0)=(,,1),-2221155555ê'úbënû'b2365Tb2='=(,,-),é25370114ùé5-4515ùb70707022êúêú246=-ê15670214úê0705-1670ú'Tb3=a3-abb3,11-abb3,22=(,,)êúêú777ê0-570314úê002407úëûëû'b3123Tk-1b3='=(,,)b'=a-åabb,,b=b'/b'b141414kkkiikkk32i=112012/10/25二、豪斯豪尔德(Householder)变换(4)考虑以w为法向量过原点o
7、的超平面Swx:T=0,设向量w=(,wL,w)T满足w=w2+L+w2=1,则称aÎR为任意的数,有Hx(+aw)=x-aw.1n21nT222证：H=-I2ww且w=w+L+w=1é12-w-2wwL-2wwù21n1121nê2úHx(+aw)=(I-2wwT)(x+aw)-2ww12-wL-2wwH=-I2wwT=ê2122núêúTTLLL=x+aw-2wwx-2awwwêúêë-2ww-2wwL12-w2úû=x+aw-2aw=x-aw.n1n2n为Householder矩阵或反射矩阵。可证其具有以下性质：w-1T(1)H是实对
8、称的正交矩阵，即H=H=H;(2)det()H=-1;x(3)H仅有两个不等的特征值±1，其中1n1是-重特征值,1-是单重特征值,w为其相应的特征向量;n定理:设xy,为R中任
