数值分析讲稿1_黑白)

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1、数值分析（NumericalAnalysis）•开课单位：信息学院•张敏洪（数学系）mh_zhang@gucas.ac.cn•考试方式：闭卷。•作业占20％―30％，卷面70％―80％。•有课外上机时间，讲义、作业及答案可下载。•课件、作业邮箱：校园网站主要参考书：•1.李庆扬等，《数值分析》，华中理工大学出版社，武汉，1994。•2.丁丽娟等，《数值计算方法》，北京理工大学，1998。•3.DavidKincaid,WardCheney.王国荣等译.数值分析（NumericalAnalysis)第三版2005。•4.（美）H.M

2、athews,D.Fink，《数值方法matlab版》，电子工业社出版，北京，2002。•5.（美）F.施依德，《数值分析》第二版，科学出版社，北京，2002。Chap.1绪论§1数值分析的对象与特点数值分析：研究适合计算机进行科学计算的方法。使用计算机、离散。解决科学技术和工程问题的步骤:实际问题建立数学模型研究计算方法编程上机计算求的结果。例如:⑴某一地区的地形图,用空中航测方法,空中连续拍照。⑵为形成三维地形图,建立了一个大型超定线性方程组。⑶采用最小二乘方法求解该方程组的最小二乘解,然后再整体平滑。⑷编程序,形成一

3、个大型程序,上机进行计算。数值分析课的主要基础与内容:计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算(即使是函数也是通过数值分析处理,转化为四则运算而形成了的一个小型软件包)。1.数值代数:求解线性方程组的解法（分直接方法和间接方法），求矩阵的特征值与特征向量。2.数值逼近：插值和数值逼近，数值微分和数值积分。3.方程求解：非线性方程、常微分方程、偏微分方程数值解法。特点：1.面向计算机。2.有可靠的理论分析（收敛性、稳定性、误差分析）。3.要有好的计算复杂性（时间、空间）4.要有数值试验。对算法所要考虑的问题:1.计算速度。

4、例如,求解一个20阶线性方程组,用消元法需3000次乘法运算;而用克莱姆法则20要进行9.710次运算,如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。2.存储量。大型问题有必要考虑。3.数值稳定性。在大量计算中,舍入误差是积累还是能控制,这与算法有关。§2误差的来源与误差分析的重要性•误差的来源与种类实际问题建立数学模型研究计算方法编程上机计算求的结果。1.模型误差:在建立数学模型过程中,不可能将所有因素均考虑,必然要进行必要的简化,这就带来了与实际问题的误差。2.测量误差:测量已知参数时,数据带来的误差。3.截断误差:在设

5、计算法时,必然要近似处理,寻求一些简化。246nn2xxx(1)x•例：cosx1LL24!6!(2)n!2x当x很小时，可用1作为cosx24x的近似值，其截断误差小于。24•例：对函数f()x用Taylor展开，用多项式'''(n)ff(0)(0)2f(0)nP()xf(0)xxLxn1!2!n!近似代替，则数值方法的截断误差为(1n)f()n1R()xf()xPx()xnn(1n)!4.舍入误差:计算机的字长是有限的,每一步运算均需四舍五入,由此产出的误差称舍入误差。例：π、1／3，

6、……取小数点8位、16位。数值分析主要讨论截断误差。测量误差看作初始的舍入误差,数值分析也要从整体来讨论舍入误差的影响,但这儿不讨论模型误差。误差分析的重要性：可举例说明n•例：计算并分析误差1xIdxn0x5(n=0，1，2……）。由积分估值nn11nn111(5)5xxxn11x1Idxxdx55dxInn100xx550n且由积分性质知1111nn11min()xdxImax()xdxn6(nx1)01x50001xx55(n1)可设计如下两种算法：111•

7、算法1：取Id0xln1.2按公式IInn510x5n(n=0，1，2……)依次计算II12,K的近似值。*设eII000。假设计算过程中不产生新的舍入误差，则有**(n=0，1，2……)eII555IIennnn11nn1n＝＞ee(5)误差扩散。n0•算法2：从计In算，In1111由IInn51Inn1()In5n11neeee()应有nn1＝＞0n。55数值稳定，在运算过程中，舍入误差不增大。§3误差的基本概念•3.1（绝对）误差与（绝对）误差限**x是精

8、确值,x是它的一个近似值,称exx是近似值的绝对误差。简称误差。误差是有量纲的,可正可负。误差是无法计算的,但可以估计出它的一个上**界。即xx,称是近似值x的误差限,**即。xxx•3.2相对误差与相对误差限*exx*称