数值分析讲稿6(黑白).pdf

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1、第四章、数值微分与数值积分数值微分1、差商型求导公式'f()(xhfx)由导数定义()limfxh0h（）向前差商公式1'fxh()(fx)()fxTAh（）向后差商公式2f(x)B'fx()fxh()()fxCh（）中心差商公式（中点方法）3x-hxx+h'fxh()()fxh()fx2h差商型求导公式的余项由公Taylor式"'fxh()(fx)fx(1h)f()xhO()hh2"'fx()fxh()fx(2h)f()xhO()hh2'fxh()()fxhfx()2h(3)(3)fxhfxh()()1222h

2、O()h60,112从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确；从舍入误差的角度来看，步长不宜太小。2、插值型求导公式若已知函数f()[,]xa在bn内1个节点(,())xfxii(0in,1,,)L，可用其插值多项式P(x)的导数近n似函数fx()的导数。(1n)f()由RxfxPx()()()()xnnn1(1n)!(1n)'''fd()n1()x(n1)fxPx()n()n1()xf()(1nn)!(1)!dx对任意xab[,]，因未知，故上式很难估计误差，但若只求某个节点上的导数值，误差可估计。(1nn)(1)n''

3、'ff()()fxPx()in()in1()xi(xxij)(1nn)!(1)!j0ji因此，插值型求导公式通常用于求节点处导数的近似值。两点公式设给出两节点(xfx,()),(xfx,()),记xxh001110xxxx10有Px()fx()fx().101xxxx0110'1Px()[fx()fx()]101h'1Px()[fx()fx()],1010h'1()Px[()fxfx()]；1110hf(1n)()n''带余项的两点公式是：f()xPxin()i(xxij)(1n)!j0ji'1h"fx()[(

4、)fxfx()]f(),10101h2'1h"fx()[()fxfx()]f().11102h2三点公式设已给出三个节点xxxhxxh,,2上的01020函数值()xxxx()12Px()fx()20()xxxx()0102()xxxx()()xxxx()0201f()xf(),x12()xxxx()()xxxx()10122021令则xxth,01Pxth()(t1)(t2)fx()tt(2)fx()200121tt(1)(fx),22'1上式对求导：tP()[xth(2t3)f(x)2002h(4t4)f(x

5、t)(21)f(x)].12'1Px()[3()4()fxfxfx()];200122h'1Px()[()fxfx()];（中点公式）21022h'1Px()[fx()4fx()＋3(fx)].220122h(1n)n''f()f()xPxin()i(xxij)带余项的三点求导公式：(1n)!j0ji2'1h"'fx()[3()4()()fxfxfx]f();001223h2'"1h'fx()[()fxfx()]f();（中点公式）10226h2'1h"'fx()[()4()3()fxfx＋fx]f().201223h可

6、利用插值多项式，建立高阶数值微分公式：()kk()fPxk(),1,2,Lm'1例：对()[Pxth(2t3)fx()2002h(4tf4)()xtf(21)(x)].再对求导，t12"1有Pxth()[((fx)2()fxfx()],202012h"1Px()[(fxh)2()(fxfxh)],212111h带余项的二阶三点公式：2"1h(4)fx()[(fxh)2()(fxfxh)]f().11121h12同样，针对m也可扩展，如五点插值求积公式。3、样条求导三次样条函数Sx()及其一、二阶导数均一致收敛于被插值函数fx()及其一、二阶

7、导数，故用样条函数的导数近似函数导数()kk()fxSxk()()(1,2,)L不仅可靠性好，且可计算非节点处导数的近似值。()kk()4k其截断误差为：fxSxO()()(h).对等距划分axxLxbx,且xh,01nk1k三次样条Sx()在节点上的导数值Sx()m满足下列3kk连续性方程组mmmgj2(1,2,L,n1);jj11jjjj在给定一类边界条件下，