数值分析讲稿9(黑白).pdf

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1、第六章、解线性方程组的迭代法直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!)迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组，既使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足。迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单，编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组。§1.迭代法概述迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则。由不同的计算规则得到不同的迭代法，本章介绍单步定常线性

2、迭代法。对线性方程组AxbT其中Aa()非奇异矩阵，bbb(,,)Lijnn1n构造其形如xMxgn的同解方程组，其中Mn为阶方阵，gR。(0)n任取初始向量xR,代入迭代公式(1kk)()xMxg(k=0,1,2,L)()kk()产生向量序列{}xk，当充分大时，以x作为方程组Axb的近似解，这就是求解线性方程组的单步定常线性迭代法。M称为迭代矩阵。()knn定义：设{xR}为中的向量序列，xR，如果()klimxx0k()k其中为向量范数，则称序列{}xx收敛于，记为()klimxxknk()n定理：Rx中的向量序列{}收敛于R中的向

3、量当且仅当x(k)limxxi(1,2,L,)niik()kk()()kk()TT其中xx(,,,),(,,,)xxxxLLxx。12nn12()kk()证：由定义，{xxx}收敛于即limx0k()kk()()k而对任意10min，有xxaxxxxxiijj1jn()k由极限存在准则得limxx=0(i1,2,L,)niik()k即limxxi(1,2,L,)niik()k定义：设{An}为阶方阵序列，为阶方阵，如果An()klimAA0k()k其中为矩阵范数，则称序列{}AA收敛于矩阵，记为()klimAA

4、k()kk()定理：设{Aak}()(1,2,L),A(an)均为阶方阵，ijij()k则矩阵序列{}AA收敛于矩阵的充要条件为()klimaai(,j1,2,L,)nijijk证明略。定理表明，向量序列和矩阵序列的收敛可以归结为对应分量或对应元素序列的收敛。(1kk)()()k若按xMxg产生的向量序列{}xx收敛于向量,(1kk)()则有xxlimlim[Mxg]Mxgkk即是方程组xAxb的解。§2.雅可比(Jacobi)迭代法axax111122Laxb1nn1axax211222Laxb2nn2LL

5、axaxLaxbn11n12nnnn若系数矩阵非奇异即a0(in1,2,L,),则有iixbxbxLbxg11221331nn1xbx2211bxbx233L2nng2LLxbxbxbxn1nnn12233Lgnabiji其中bi,(j,,ij1,2,LL,),ng(in1,2,,).ijiaaiiii0bb1213Lbb1nn11g1bbb0Lbg若记Bg21232nn122LLMbbbnnn123Lbnn10gn则方程组可简记为xB

6、xg(0)(1)（）1（）0(1)选初值向量xx代入,xBxg，代入x(2)()kxxL，如此继续下去，就产生一个向量序列{}(1k)()k满足xBxgk(0,1,2,)L此过程所给出的迭代法称为Jacobi迭代法，又称简单迭代法。矩阵简化记法0b12b1n1001b12b1nb210b2n010b211b2nBbn1bn20001bn1bn21a1aaa1111121n1a22a21a22a2n1I

7、I-DAa1aaannn1n2nnT同样g(,,,)ggLg12nT1(baba11122,2,L,)bannnDb收敛与解（）nn1（）Jacobi迭代xxBgn012，，，L（）k*若收敛{xx}，则1**BI-ADxBxg1gDb*1*1即(IBxgDA)xDb*Axb故如果序列收敛,则收敛到解.B称迭代矩阵.10xxx272123例：用Jacobi迭代法求解x10x