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1、1矩矩矩阵阵阵空空空间间间•设P是一个数域，R或C.•Pn：n维向量空间。x=(x,x,···,x)。三种范数结构12n
2、
3、x
4、
5、∞=max
6、xi
7、,1≤i≤n∑
8、
9、x
10、
11、1=
12、xi
13、,1≤i≤n()1/2∑2
14、
15、x
16、
17、2=
18、xi
19、.1≤i≤n•Pn×m：作为一个线性空间。a11a12···a1ma21a22···a2mA=············an1an2···anm•存在Pn×m×Pm×l→Pn×l的一个运算，称为矩阵乘法∑AB=C,cij=aikbkj1≤k≤m•对于方阵A∈Cn×n，若有λ∈C和非零向量x∈Cn，使得Ax=λx则称x为特征值λ对应的特征向
20、量。•对任一A∈Cn×n，其有n个特征值（可以相同）。全体特征值的集合称为A的谱，记作σ(A)，即defσ(A)={λ1,···,λn}defρ(A)=max
21、λ
22、λ∈σ(A)1称为A的谱半径。∑deftrA=aii1≤i≤n称为方阵A的迹。可以证明∑trA=λi,detA=λ1λ2···λn1≤i≤n(Jordan标准型)任一复方阵可以通过相似变换化为Jordan标准型J，它是含有p个对角块的块对角阵J1J−12SAS=J=...Jp每个Ji对应一个特征值λi，它是ri个小块组成的块对角阵Ji1λi1Ji2......Ji=..,
23、Jik=.λi1Jiriλi定定定义义义1(范数等价).设
24、
25、·
26、
27、α和
28、
29、·
30、
31、β是线性空间S的两个范数。如果存在常数C1和C2，使得C1
32、
33、u
34、
35、α≤
36、
37、u
38、
39、β≤C2
40、
41、u
42、
43、α,∀u∈S则称范数
44、
45、·
46、
47、α和范数
48、
49、·
50、
51、β等价。定定定理理理1.有限维空间中的任意两个范数等价。定定定义义义2(矩阵范数).Pn×n中的范数：是Pn×n→P:A→
52、
53、A
54、
55、的一个映射满足•
56、
57、A
58、
59、≥0,
60、
61、A
62、
63、=0⇔A=0.•
64、
65、αA
66、
67、=
68、α
69、
70、
71、A
72、
73、.•
74、
75、A+B
76、
77、≤
78、
79、A
80、
81、+
82、
83、B
84、
85、.
86、
87、AB
88、
89、≤
90、
91、A
92、
93、
94、
95、B
96、
97、.2例例例1.Frobenius范数(nn)1
98、/2∑∑def2
99、
100、A
101、
102、F=
103、aij
104、i=1j=1()∑n∑n∑n∑n∑n∑n∑n2222
105、
106、AB
107、
108、F=
109、aikbkj
110、≤
111、aik
112、
113、bkj
114、i=1j=1k=1i=1j=1k=1k=1()()∑n∑n∑n∑n2222=
115、aik
116、
117、bkj
118、=
119、
120、A
121、
122、F
123、
124、B
125、
126、Fi=1k=1j=1k=1定定定义义义3(相容性).称矩阵范数与向量范数相容：若n×nn
127、
128、Ax
129、
130、≤
131、
132、A
133、
134、
135、
136、x
137、
138、,∀A∈P,∀x∈P.矩阵的F-范数与向量的2-范数相容：()2()∑n∑n∑n∑n∑n22222
139、
140、Ax
141、
142、2=aijxj≤
143、aij
144、xj=
145、
146、A
147、
148、F
149、
150、x
151、
152、2i=1j=1i=1j=1j=1定
153、定定义义义4(从属范数).设
154、
155、·
156、
157、是一个向量范数,对∀A∈Pn×n,def
158、
159、Ax
160、
161、
162、
163、A
164、
165、=sup=sup
166、
167、Ax
168、
169、x̸=0
170、
171、x
172、
173、
174、
175、x
176、
177、=1定义了Pn×n上的一种范数,称为从从从属属属于于于给给给定定定向向向量量量范范范数数数的的的矩矩矩阵阵阵范范范数数数,简称从从从属属属范范范数数数,亦称算算算子子子范范范数数数.
178、
179、Ax
180、
181、是x的连续函数，因为′
182、
183、A(x−y)
184、
185、≤C
186、
187、A(x−y)
188、
189、2≤C
190、
191、A
192、
193、F
194、
195、x−y
196、
197、2≤C
198、
199、A
200、
201、FC
202、
203、x−y
204、
205、
206、
207、A
208、
209、=max
210、
211、Ax
212、
213、
214、
215、x
216、
217、=1•若
218、
219、A
220、
221、=0，则Ax=0,∀x，于是A=0.•显然
222、
223、
224、αA
225、
226、=
227、α
228、
229、
230、A
231、
232、.•显然
233、
234、A+B
235、
236、≤
237、
238、A
239、
240、+
241、
242、B
243、
244、.3•因为
245、
246、Ax
247、
248、≤
249、
250、A
251、
252、
253、
254、x
255、
256、，从属范数是相容的.
257、
258、AB
259、
260、=max
261、
262、ABx
263、
264、≤max
265、
266、A
267、
268、
269、
270、Bx
271、
272、=
273、
274、A
275、
276、
277、
278、B
279、
280、
281、
282、x
283、
284、=1
285、
286、x
287、
288、=1•单位矩阵I的任意从属范数为1.√•相容的范数未必是从属范数.如
289、
290、·
291、
292、F与
293、
294、·
295、
296、2相容，但
297、
298、I
299、
300、F=n.•设S∈Cn×n非奇异，则Rn→R:x→
301、
302、Sx
303、
304、是Rn上的另一向量范∞数，记作
305、
306、·
307、
308、S,∞.•若
309、
310、Sx
311、
312、∞=0,则Sx=0,x=0•
313、
314、S(αx)
315、
316、∞=
317、α
318、
319、
320、Sx
321、
322、∞•
323、
324、S(x+y)
325、
326、∞≤
327、
328、Sx
329、
330、
331、∞+
332、
333、Sy
334、
335、∞•如上从属于范数
336、
337、·
338、
339、S,∞的矩阵范数满足−1
340、
341、A
342、
343、S,∞≤
344、
345、SAS
346、
347、∞设A∈Pn×n，则∑n
348、
349、A
350、
351、∞=max
352、aij
353、1≤i≤nj=1∑n
354、
355、A
356、
357、1=max
358、aij
359、1≤j≤ni=1T1/2
360、
361、A
362、
363、2=[ρ(AA)]证明
364、
365、A
366、
367、=[ρ(ATA)]1/2,因为∥Ax∥2=(Ax,Ax)=(ATAx,x),则22Tn×n(AAx,x)≥0,∀x∈RATA的特征值为非负实数,依次排列为λ≥λ≥λ≥0,对应的一组规范的12n正交特征向量为{u
