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1、云南大学学报(自然科学版)2001,23(2):84～86CN53-1045/NISSN0258-7971JournalofYunnanUniversity修正的Black-Scholes期权定价模型关莉,李耀堂(云南大学数学系,云南昆明650091)摘要:在期权有效期内σ,r,D0是时间t的已知函数下,得到了欧式期权的B-S定价方程的解,从而获得了欧式看涨和看跌期权的定价公式.关键词:期权;期权定价;Black-Scholes方程中图分类号:F830.9文献标识码:A文章编号:0258-7971(2001)02-0084-03FischerBlack和MyronScholes在197
2、3年提5°所有证券都是高度可分的.出了期权定价模型———Black-Scholes模型,这使此外,本文假设r(t),D0(t),σ(t)在期权有得期权定价问题的研究有了突破性进展.该模型假效期内是时间t的已知函数.设在期权有效期内股票投资回报的波动性σ,股票2修正的B-S模型的红利D0,无风险利率r都是固定不变的.然而在现实中,上述3个参数受多种环境因素的影响,很Black和Scholes推导的著名的B-S方程[3]难保持固定不变.Wilmott等人在文献[1]中考虑为了σ,D20,r在期权有效期内是时间t的函数的情V122VV+σS2+(r-D0)S-rV=0况,修正了欧式期权的B-
3、S定价方程.本文进一步t2SS研究这一问题,得到了方程的解以及看涨和看跌期该方程是基于假设条件1°～5°及r,D0,σ是常数权的定价公式.的假设下推导的.若假设r(t),D0(t),σ(t)在期权有效期内是时间t的已知函数,并且上述假设条1基本符号和假设件1°～5°仍然满足,则可得修正的B-S方程2文中出现的字母含义为V122V+σ(t)S2+t2SV———期权价格;S———股票现价;E———期V权执行价格;T———期权的到期时间;t———现在(r(t)-D0(t))S-r(t)V=0(1)S的时间;r———无风险利率;σ———股票价格的波动方程(1)是抛物型方程,为得到方程的解,首率
4、;D0———股票的红利.先可通过一系列变量代换,将其化为简单的扩散方本文仍然遵从B-S模型的一些基本假设条程.[2]件:x-A(t)S=Ee,1°V是S和t的函数,即V=V(S,t);令τ=ρ(t),(2)2°股票价格S服从对数正态分布;-B(t)V(S,t)=Eeu(x,τ)3°投资者可按无风险利率任意地借入或贷其中出;T12A(t)=r(s)-D0(s)-σ(s)ds,4°无套利机会,无交易费用或税收,允许卖∫t2空;即收稿日期:2000-11-22基金项目:云南省省院省校合作项目———金融数学学科建设资助项目.作者简介:关莉(1977-),女,云南人,硕士,主要从事特殊矩阵及金融
5、数学方面的研究.第2期关莉等:修正的Black-Scholes期权定价模型8512所以,修正的B-S模型期权定价公式为dA(t)=σ(t)+D0(t)-r(t)dt,2∞-B(t)1TV(S,t)=e∫·B(t)=∫r(s)ds,2πρ(t)0t′2[lnS-(lnS+A(t))]′即′-4ρ(t)dSV(S,T)e·′SdB(t)=-r(t)dt,T(5)12ρ(t)=∫σ(s)ds,t23欧式看涨期权和看跌期权的定价公式即12设欧式看涨期权价格为c,看跌期权价格为dρ(t)=-σ(t)dt.2p,对欧式看涨期权SxdA(t)x1′′易知x=ln+A(t),=,=.c(S,T)=ma
6、x(S-E,0).EtdtSS故代入(5)式得∞V-B(t)udA(t)-B(t)1′=Ee·+c(S,t)=e∫max(S-E,0)·txdt2πρ(t)0′2udρ(t)dB(t)-[lnS-(lnS+A(t))]dS′·-u·,e4ρ(t)·=τdtdtS′VE-B(t)u-B(t)1∞=e,e(S′-E)·SSx2πρ(t)∫E22VE-B(t)uu′22=2e2-.-[lnS-(lnS+A(t))]dS′SSxxe4ρ(t)·≡c1-c2′S代入方程(1)得其中2uu′22=τ(-∞7、dS初值问题2πρ(t)E′22uuEe-B(t)∞-[lnS-(lnS+A(t))]dS′c4ρ(t)2=,-∞
