Black-Scholes模型

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1、第十一章Black-Scholes模型的分析教学目的与要求理解股票价格对数正态分布的特性。掌握Black-Scholes微分方程的基本概念和推导Black-Scholes公式的过程，掌握公式的性质，并且能够运用该公式进行定价；掌握风险中性定价的原理和方法。能够运用期权定价公式对支付红利的股票期权进行定价。教学重点及难点一、布莱克——舒尔斯微分方程(一)布莱克——舒尔斯微分方程的推导(二)风险中性定价原理二、布莱克——舒尔斯期权定价公式三、有收益资产的期权定价公式(一)有收益资产欧式期权的定价公式(二)有收益资产美式期权的

2、定价股票期权定价的Black-Scholes公式在70年代初，FischerBlack、MyronScholes和RobertMerton取得了一个重要大的突破，推导出股票期权定价的微分方程。他们的工作对市场参与者从事期权对冲及定价等行为产生了巨大的影响一、布莱克——舒尔斯微分方程（一）思路：由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定性(dz)影响，若匹配适当，这种不确定性就可以相互抵消。布莱克和舒尔斯建立一个包括一单位衍生证券单位标的证券多头的投资组合。若数量适当，标的证券多头盈利(或亏损)总是会与衍生证券空头的亏

3、损(或盈利)相抵消，因此在短时间内该投资组合是无风险的。在无套利机会的情况下，该投资组合在短期内的收益率一定等于无风险利率。（二）布莱克—舒尔斯微分方程的假设1．证券价格遵循几何布朗运动，即μ和σ为常数；2．允许卖空标的证券；3．没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的；4．在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；5．不存在无风险套利机会；6．证券交易是连续的，价格变动也是连续的；7．在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。(三)布莱克——舒尔斯微分方程的推导1、基础证券的运动模型：由于假设证券价格S遵循几何布朗运

4、动，因此有：dS＝μSdt十σSdz其在一个小的时间间隔Δt中，S的变化值ΔS为：ΔS=μSΔt+σSΔz……（1）2、衍生工具的运动模型：假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，由伊藤引理可得:3、构建无风险组合：从上面分析看出，(1)和(2)中的Δz相同，都等于。因此只要选择适当的衍生证券和标的证券的组合就可以消除不确定性。为了消除Δz，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。令Π代表该投资组合的价值，则：4、无套利定价由于式(5)中不含有Δz，该组合的价值在一个小时间间隔

5、Δt后必定没有风险。因此该组合在Δt中的瞬时收益率一定等于Δt中的无风险收益率。否则的话，套利者就可以通过套利获得无风险收益率。因此，在没有套利机会的条件下：ΔΠ＝rΠΔt……（6）把式(3)和(5)代入（6）得:5、这就是著名的布菜克——舒尔斯微分分程,它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。6、注意(1)组合的风险性当S和t变化时，的值也会变化，因此上述投资组合的价值并不是永远无风险的，它只是在一个很短的时间间隔Δt中才是无风险的。在一个较长时间中，要保持该投资组合无风险，必须根据于的变化而相应调整

6、标的证券的数量。当然，推导布莱克——舒尔斯微分方程并不要求调整标的证券的数量，因为它只关心Δt中的变化。(2)风险中性定价原理从式(7)可以看出，衍生证券的价值决定公式中出现的变量为标的证券当前市价(S)、时间(t)、证券价格的波动率(σ)和无风险利率，它们全都是客观变量，独立于主观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率μ并未包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。在所有投资者都是风险中性的条件

7、下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外负担外的收益来吸引他们承担风险。在风险中性条件下，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。应该注意的是，风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯微分方程而作出的人为假定。但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资考风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。二、布莱克——舒尔斯期权定价公式1973年，布莱克和舒尔斯成功地求解了他们的微分方程，从而获得了欧式看涨期权和看跌期权的精确公式。在风险中性的条件

8、下，欧式看涨期权到期时(T时刻)的期望值为：其中，表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即：在风险中性条件下，我们可以用r取代下式中的μN(x)为标准正态分布变量的累计概率分布函数(即这个变量小于x的概率)。根据标准正态分布函数特性，有：N(