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1、布莱克-舒尔斯期权定价模型第一节 证券价格的变化过程一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity效率市场假说可分为三类：弱式
2、、半强式和强式。弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（MarkovStochasticProcess）来表述。随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。可分为离散型的和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格。Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity二、布朗运动（一）标准布朗运动设代表一个小的时间间隔长度，代表变量z在时间内的
3、变化，遵循标准布朗运动的具有两种特征：特征1：和的关系满足（6.1）：（6.1）其中，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity标准布朗运动(2)特征2：对于任何两个不同时间间隔，和的值相互独立。考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得：（6.2）当0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：（6.3）Copyright©ZhenlongZhen
4、g2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity（二）普通布朗运动我们先引入两个概念：漂移率和方差率。标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x的普通布朗运动：（6.4）其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity三、伊藤过程普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率
5、当作变量x和时间t的函数，我们可以从公式（6.4）得到伊藤过程（ItoProcess）：(6.5）其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity四、证券价格的变化过程证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、方差率为的伊藤过程来表示：两边同除以S得：（6.6）Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFina
6、nce,XiamenUniversity从（6.6）可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：可见，也具有正态分布特征(6.7)Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity例6.1设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年18%，预期收益率以连续复利计为每年20%，其目前的市价为100元，求一周后该股票价格变化值的概率分布。Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,X
7、iamenUniversity五、伊藤引理若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：（6.8）由于（6.9）根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：(6.10)Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity六、证券价格自然对数变化过程令，由于代入式（6.10）:（6.11）证券价格对数G遵循普通布朗运动,且：Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,Xia
8、menUniversity例6.2设A股票价格的当前值为50元,预期收益率为每年18%,波动率为每年20%,该股票价格遵循几何布朗运动,且该股票在6个月内不付红利，请问该股票6个月后的价格ST的概率分布。例6.3请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价格的期望值和标准差等多少？Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenU
