投资分析Black-Scholes期权定价模型.ppt

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1、投资学第13章投资分析（4）：Black-Scholes期权定价模型7/21/20211概述Black、Scholes和Merton发现了看涨期权定价公式，Scholes和Merton也因此获得1997年的诺贝尔经济学奖模型基本假设8个无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。标的股票不支付红利期权为欧式期权7/21/20212无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市场投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均为无风险利率股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的标的股票对卖空没有任何限制标的资产为股票，其价格S的变化为几

2、何布朗运动7/21/20213B-S模型证明思路ITO引理ITO过程B-S微分方程B-S买权定价公式7/21/2021413.1维纳过程根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有随机游走性，这种特性可以采用Wienerprocess，它是Markovstochasticprocess的一种。对于随机变量w是Wienerprocess，必须具有两个条件：在某一小段时间Δt内，它的变动Δw与时段满足Δt7/21/20215（13.1）2.在两个不重叠的时段Δt和Δs,Δwt和Δws是独立的，这个条件也是Markov过程的条件，即增量独

3、立！（13.2）有效市场7/21/20216满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有当时段的长度放大到T时（从现在的0时刻到未来的T时刻）随机变量Δwt的满足7/21/20217证明：7/21/20218在连续时间下，由（13.1）和（13.2）得到（13.3）（13.4）所以，概率分布的性质以上得到的随机过程，称为维纳过程。7/21/2021913.2ITO定理一般维纳过程(GeneralizedWienerprocess)可表示为（13.5）显然，一般维纳过程的性质为7/21/202110一般维纳过程仍不足以代表

4、随机变量复杂的变动特征。漂移率和方差率为常数不恰当若把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程7/21/202111B-S期权定价模型是根据ITO过程的特例－几何布朗运动来代表股价的波动省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程（13.6）证券的预期回报与其价格无关。7/21/202112ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO过程表示为（省略下标t）令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可以代表以标的资产x的衍生证券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可以表示为

5、（13.7）7/21/202113证明：将（13.7）离散化由（13.1）知利用泰勒展开，忽略高阶段项，f(x,t)可以展开为（13.8）7/21/202114在连续时间下，即因此，（13.8）可以改写为（13.9）从而7/21/202115即Δx2不呈现随机波动！（13.10）7/21/202116由（13.10）可得（13.11）由（13.11）得到（13.12）7/21/202117由于Δx2不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即当Δt→0时，由（13.9）可得■7/21/20211813.3B-S微分方程假设

6、标的资产价格变动过程满足这里S为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可由ITO引理近似为7/21/202119假设某投资者以δ份的标的资产多头和1个单位的衍生证券空头来构造一个组合，且δ满足则该组合的收益为7/21/202120下面将证明该组合为无风险组合，在Δt时间区间内收益为7/21/202121注意到此时Δπ不含有随机项w，这意味着该组合是无风险的，设无风险收益率为r，且由于Δt较小（不采用连续复利），则整理得到7/21/202122B-S微分方程的意义衍生证券的价格f，只与

7、当前的市价S，时间t，证券价格波动率σ和无风险利率r有关，它们全都是客观变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会对f的值产生影响。在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微分方程求出价格f。7/21/202123若股票价格服从几何布朗运动设当前时刻为t，则T时刻股票价格满足对数正态分布，即13.4几何布朗运动与对数正态分布7/21/202124令则这样由伊藤引理得到即7/21/202125由（13.1）7/21/202126则称ST服

8、从对数正态分布，其期望值为所以7/21/20212713.5B-S买权定价公式对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权（买权）的在定价日t的定价公式为7/21/202128（1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t的股票价格为St,则T时刻