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1、DOI:10.13255/j.cnki.jusst.1998.01.005上海理工大学学报第20卷第1期J.UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyVol.20No.11998*Lattice方法在期权定价中的应用研究王植祥姚俭杨辉王浣尘(上海交通大学管理学院)摘要首先分析了连续随机游走的离散化方式及参数u、d和p应满足的条件,然后在此基础上研究了期权的定价原理,同时举例分析了此方法与Black-Sholes公式的差异.关键词Lattice风险中性看涨期权看跌期权中图法分类号F832.5Black-Scholes模型的提出对
2、期权定价问题在随机微分方程dS/S=edX+_dt中的μ表[1]的研究确是一开创性的成就.然而,由于该模示标的资产预期增长率,在风险中性环境里用r型涉及到比较复杂的数学运算,对大多数人而言,来表示μ(这里要求u>1+r>d),即它既难于理解,更难于操作,在实际应用中受到了dS=edX+rdt(1)[2]S限制.有鉴于此,Cox等人提出了一种简单的格方法[3].Sharpe是第一个使用格方法的学者[4].在风险中性条件下,在时刻mWt衍生证券的m价格V是它在时刻(m+1)Wt的期望值按无风险用格方法来定价期权及其他一些衍生证券起源于利率r贴现所得到的,即标的资产的随机游走
3、模型,由于风险中性的假设,m-rWtm+1V=E[eV](2)格方法只间接依赖于Black-Scholes分析,其与偏适当选择u、d和p,使得由树所表示的离散微分方程及不等式模型的联系只有当将它看成是外推有限差分方法的特殊情况时才变得明显[5].随机游走和由式(1)所表示的连续随机游走具有格方法有两个主要的假设[3,4,6]:相同的均值和方差.也就是说,假定标的资产在m时刻mWt的价格为S,应该使得在时刻(m+1)Wt其一是连续随机游走dS/S=edX+_dt可用m+1时,标的资产的价格S在连续风险中性随机游一具有如下性质的离散随机游走模型来表示.第一,标的资产的价格只
4、在离散时间点δt,2δt,3δt,走下的期望值和方差与在离散格模型条件下的期望值和方差相等.…,MWt(MWt=T为衍生证券的到期日)上变动.m假设在时刻mWt标的资产的价格为S,那么这里用Wt来表示很小但非无穷小的时间步长;第m+1二,如果标的资产在时刻mWt的价格为Sm,那么很容易得到在连续随机游走模型(1)下S期望在时刻(m+1)δt其价格有两种可能的值uSm(>值为∞Sm)或dSm(5、Sm]=∫-Sp[Sm,mWt;-S,(m+1)Wt]d-S=erWtSm0m升到uS的概率为p.其中,p(S,t;-S,t)是
6、概率密度函数[4],它等于其二是风险中性的假设,即在风险中性环境--p(S,t;S,t)=中,投资者的风险偏好与衍生证券的定价无关.-e2-22-1[1g(S/S)-(r-)(t-t)]/2e(t-t)e2(3)在此条件下,可以认为投资者为风险中性的,从标e-S2π(t--t)的资产所得的收益率为无风险利率.同样,给定Sm,在离散格随机游走条件下,1随机游走离散化Sm+1的期望值为收稿日期:1997-10-09第一作者:男,博士研究生上海200052*国家自然科学基金资助项目No.79790130第1期王植祥等:Lattice方法在期权定价中的应用研究23m+1mmEL
7、[S
8、S]=[pu+(1-p)d]S这种情形中上升与下降的概率相等且有ud令这两个期望值相等可得>1(假设r>0且Wt不是很大).如果时间步长太rWtpu+(1-p)d=e(4)大的话,d有可能变成负值,这时格方法无效.mm+1因为给定S,S的方差为1.3格树(二叉树)m+1mm+12mm+1m2var[S
9、S]=E[(S)
10、S]-E[S
11、S]在连续随机游走条件下,有利用式(8)和(9)可以建立一个反映标的资产∞Ec[(Sm+1)2
12、Sm]=∫(-S)2p[Sm,mWt;-S,(m+1)Wt]d-S=价格运行的树.从现在时间t=0开始,假设在这00时候标的资产的价格为S
13、0;在下一个时间步长Wte(2r+e2)Wt(Sm)210点,有两个可能的标的资产价格值,即S1=uS0和这样,可得10S0=dS0;再经过一个时间步长Wt即在2Wt时刻,m+1m2rWte2Wtmvarc[S
14、S]=e(e-1)(S)+22202有三个可能的标的资产价格,即S2=uS0,S1=在离散随机游走条件下,有0220udS0,S0=dS0;在3Wt时刻有四个可能的标的资m+12m22m2EL[(S)
15、S]=[pu+(1-p)d](S)产的价格,依此类推,经过m个时间步长到mWt利用式(4)可得时刻时,有m+1个可能的标的资产的
