鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ微专题一多元变量的最值问题课件.pptx

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1、微专题一　多元变量的最值问题第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ[经验分享]在数学中经常碰到求含有多个变量的最值问题，此类题目题型众多，解法也很多，学生在面对含有多个变量的问题时，最大的困扰是不知从何处入手.对于高中生，主要掌握的是一元变量的最值问题.因此，解决多元变量的最值问题，减元是常见的办法.一、代入减元例1设x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值.所以，当x＝12，y＝6时，x＋y取得最小值18.点评此题是一道学生经常见到的求多变量最值的试题，虽然此解法不是最优的解法，但可能是学生比较容易想到的解法.它的优点是由前面的等式可以得到y＝代入x＋y中，从而使二元

2、变量变为一元变量，从而达到解题的目的.解析由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)√当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，三、换元减元例3已知θ∈，不等式2sinθcosθ＋sinθ＋cosθ－m＋1≥0恒成立，求实数m的取值范围.即求函数的最小值.不等式m≤2sinθcosθ＋sinθ＋cosθ＋1恒成立.当t＝1(即θ＝0)时，ymin＝2.故m≤2.点评此题中的sinθcosθ，sinθ＋cosθ若不加处理难以将变量统一起来.但是，观察到sinθcosθ与sinθ＋cosθ的关系，通过换元很巧妙的将变量完善统一起来，达到减元的目的.四、整体减元例4

3、已知函数f(x)＝xlnx－·x2－x＋a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点.(1)求a的取值范围；(2)设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1·x2>e2.解由题设有f′(x)＝lnx－ax，故x1，x2是方程lnx－ax＝0的两根，即lnx1＝ax1，lnx2＝ax2，不妨设x1>x2>0，则由以上两式分别相加和相减得：ln(x1x2)＝a(x1＋x2)，点评此题属于难题.由证明的结论可知，结论中没有参数a，故首先需要先消掉参数a.故由lnx1＝ax1，lnx2＝ax2变形后再消去a，但是也不能就这两个式子简单地消掉a，只有这样才能有后面的将当做整体进行减元的构造，

4、从而达到解决问题的目的，这也是解决此题的艺术精华所在.以上几题均是求多元变量的最值问题，可以发现这类问题的基本策略是减元，进而利用单元函数求最值，从而达到解题的目的.可见，减元是解决这类多元最值问题的一把利器.