商品最优价格的数学模型

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1、北京电力高等专科学校学报No．6．2010BeijingElectricPowerCollege教育研究团商品最优价格的数学模型杨春艳刘荣花(齐齐哈尔高等师范专科学校理工系．黑龙江齐齐哈尔161005)摘要：随着经济体制改革的不断深入，合理地确定价格是非常I必要的。在市场经济条件下，最优价格可使生产者获得最大的经济利益。而数学和经济的联系是十分紧密的，对数学的应用要通过数学模型。即将数学方法应用到实际问题中时．首先是把这个f=-I题的内在规律用数字、图表或者公式、符号表示出来。然后经过数学的处理得到定量的结果

2、．以供人们作分析、预报、决策或者控制．这个过程实际上就是一个建立数学模型的过程。本文主要讨论在供求平衡条件下的最优价格的数学模型。关键词：数学模型；最优价格；总利润；极值；敏感系数中图分类号：FO文献标识码：A文章编号：1009—0118I2010)-o6—0167-02一、问题的提出比。对任一商品，其利润总与销售量和价格有关，而销售量(二)若考虑到成本q随着产量x的增加而降低，试做又受价格的影响。价格太高，销售量会下降；如果要促进销出合理的假设，重新求解。售量，就必须下调价格，这两种情况都将影响到商品的获不

3、妨设q(x)=kx，k是产量增加一个单位时降低的成利。所以要使商品获利最大，就应该给商品确定一个最优的本。价格。U(p)I(P)-C(p)(p-qo+kx)x=[p—qo+k(a—bp)](a-dp)二、模型假设令U’(p)=O，得最优价格(一)假设商品在产销平衡的状态下销售。(商品的产量n}：g+一等于市场上的销售量)20-kb12b(二)假设销售量与价格是线性递减函数，商品的成本(三)假如销售量x不是价格P的线性函数，成本q与与产量也是相关联的。产量x无关，则最优价格P由U(p)=郇)+(p-q)f．(p

4、)=0确定。(三)以月为单位。(四)设销售期为T，由于商品消耗，成本q随时间增长，三、模型的建立设q=q0+pt，p为相对增长率，又设单位时间的销售量为利润是销售收入与支出之差。设某商品的售价为P，成x=a-bp(P为价格)，现将销售期分为0

5、常数的情况下，总收入I和总支出C都是价格P的最优值。的函数：I(p)=pf(p)、c(p)=q即)，根据利润=销售量价格一总2，T成本，因此利润U可以表示为rU(p)=I(p)-C(p)==(p-q)f(P)(1)总利润U(p，pz)}。【prq(t)】(a_bp-)dc+}T[p：q(t)l(a-bp~)dt由一元函数取得极值的必要条件得，使利润U(P)达到2最大的最优价格P可以由I0=TpI)．bq)】+(a．bppr(qo+)】}口·(2)。由：0，：0，可得最优价格oplop2其中称为边际收入，称为边

6、际支出。(2)式表QpQp【a+b(qn+)]’p2=【a+b(q0+明最大利润在边际收入等于边际支出时取得。(一)若需求函数是线性函数，即设总销量为Q。，f(p)_a-bp，(>O)(3)T丁一且每件商品的成本q与产量X无关，把总收入函数、总支出函数、需求函数和(3)式代入(1)式得Qf。‘(a-bp,)dt+frT(a-bp~)dt=aT一(pl+p2)U(p)(p-q)(a-bp)2用微分法求得最优价格p为在此约束条件下U(p，，P)的最大值点为P争+奇(4)=-鲁--，：-鲁+在(3)式中a可以理解为

7、这种商晶免费供应时(P=0)社(五)设整个销售过程中每件商品的成本q不变，总销会的需求量，称为“绝对需求量”b=一号。表示价格上涨一售时间为T，且在时间T内销售量为G件，仍设需求函数是Qp线性函数，p)-a-bp，(a,b>O)。此时，最优价格p=p(t)，时个单位时销售量下降的幅度：在实际_T作中a，b可以由价格间定在【0，T1内，总利润为P和售量x的统计数据用最小二乘法来确定。(4)式表明最优价格是两部分之和，一部分是成本q的一半，另一部分与L(p(t))=f。T[P(1)．q][a-ap(1)】dt(5

8、)“绝对需求量”成正比，与市场需求对价格的敏感系数成反★作者简介：杨春艳(1975-)，女，黑龙江克东人，讲师，本科，研究方向：应用数学。167北京电力高等专科学校学报No．6．2010BeijingElectricPowerCollege教育研究圃解：因为在整个过程中每件商品的成本q=4是常数，所使p(c)满足．-bp(t)】d(6)以该商品销售的最优价格是不变的。这属于模型1。由模型(5)式为的