资源描述：
《【数学与应用数学】论文——商品最优价格的数学模型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、商品最优价格的数学模型摘要:最优价格问题是一个最优化问题.我们以年总利润为目标函数建立一个模型,为使总利润最大,利用微分法求出上半年和下半年的最优价格分别为:元,元.在已知年总销售量的情况下,相当于目标函数多了一个约束条件,同理可以得出上半年和下半年的最优价格,分别为:元,元.关键词:最优价格;总利润.1问题的提出对任一商品,其利润总与销售量和价格有关.而销售量又是受价格影响的.如果价格太高,销售量就会下降;如果要促进销售量,则必须下调价格.这两种情况都将影响到商品的获利.所以如果要使商品获利最大
2、,那么就应该给商品确定一个最优价格.现有一液化石油公司,生产家用煤气.每罐煤气在初始销售时的成本是43元,由于产品损耗等原因,生产每缺罐煤气的成本总是随时间增长,其增长率k为1.5公司为了确定一个合适的价格,特意作了一个调查,其调查结果如下表:价格(元/罐)444547485053销售量(罐/月)12401211114811201066970现将一年的销售量分为上半年和下半年两个时期进行,其价格分别为,每半年的价格固定.我们要解决的问题是:(1)试建立一个数学模型,确定上下半年的价格,,使一年内的
3、总利润最大.(2)如果要求一年内的总售量为7100罐,再求出,的最优值.2问题的分析首先我们从所给的数据中得出销售量跟价格的函数关系,再从题意中列出成本跟时间,价格跟时间的关系式子.根据利润=销售量价格—总成本,并考虑到利润是关于时间的连续函数,所以用积分法列出年总利润的目标函数,用微分法便可求解,了.3问题的假设(1)假设商品在产销平衡的状态下销售.(2)假设成本随时间变化时的增长率k是固定不变的.(3)假设时间是以月为单位的.(4)假设销售量与价格是线性递减函数.4符号的约定-----初始销售
4、时的成本;(=43元)k------成本随时间增长时的增长率;(k=1.5)101---时刻的成本;x-------月销售量;a-------绝对销售量;b-------销售量对价格的敏感系数;-----上半年的产品价格;-----下半年的产品价格;p(t)-----第t个月的产品价格;f(t)------第t个月的利润;U-------一年的总利润;-----一年的总销售量;5模型的建立与求解5.1每件产品的成本跟时间的函数关系:;(1)作出销售量跟价格的函数图形如下:2001501000500
5、004446485052从图中可以看出,销售量跟价格近似成线性递减.我们可以假设它们的函数关系为:(2)化入数据可以得出即5.3价格跟时间的函数关系为:5.4月利润=月销售量价格-月销售量单产品成本,所以月利润跟月销售量,成本,价格的函数关系为:(3)把(1)(2)(3)代入可得101(4)于是内的利润为:(5)5.5年总利润:(6)上式便是我们以年总利润为目标函数建立的一个数学模型.要使U最大,可令可得最优价格代入数据得元,元.5.6年总销售量:(7)在已知年总销售的情况下,相当于目标函数的一个
6、约束条件.我们可以作(8)分别求出为:令即101所以故代入数据得这就是在已知年销售量的情况下的最优值.5模型的检验对从年总利润目标函数中得出的的一般模型:跟初始成本.成本增长率k,绝对销售量a成正比,跟销售量对价格的敏感系数b成反比.这是符合常理的.6模型的评价及推广本题考虑到目标函数是与时间有关的连续函数,所以采用了积分法,在这里我们以月为单位,如果要使答案更精确些,还可以以其他更小的时间段为单位.本题不仅给出了实例的结果,还建立了普遍适用的最优价格的数学模型,只要针对具体的问题对模型稍加修改就
7、可以从中得到你想要的答案了,可以推广到其他商品中.参考文献[1].姜启源.数学模型.北京高等教育出版社,1992[2].王庚.实用计算机数学建模.安徽大学出版社,2000101
