数学建模论文--商品的订购与销售的数学模型

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1、商品的订购与销售的数学模型[摘要]:本问题是有关商店获利的运筹学问题.本文通过对1~4月4个月内商店销售商品的总售价、总成本以及总存贮费的计算，建立了使总利润获利最大的目标函数的数学模型，此模型为一个二次规划的非线性的优化模型.对于所建立的二次规划模型，本文把此模型分解为两个模型:模型Ⅰ、模型Ⅱ,并利用数学软件（Matlab）分别求解这两个模型,得出了1~4月份每月份的进货量分别为5,10,10,8(单位)；售出量分别为10,10,10,8(单位)；以及每月存贮的商品量分别为0(5),0,0,0(单位).从而解出了1~4月份商店商品的总售价为3

2、96千元；总成本为213.5千元；总的存贮费为2.5千元.通过对以上部分的计算求出了4个月内商店所获的最大利润为180.0千元.关键词：二次规划;非线性优化;模型分解1问题的提出某商店在未来4个月内，准备利用商店里一个仓库专门经销某种商品，该仓库最多能存放10单位商品.设商店每月只能售出仓库现有的货，而每月所购的货只能在下个月初到货，又设该商品在1月初的存货为5单位，而1~4月该商品的售价分别为12，9，13，7（千元），而进货价则与进货量有关，分别为其中为第月份的购买量.又设每个月月底存货在下个月的存贮费用每单位为千元.试制订进货及销售计划，

3、使总利润最大.2问题的分析本问题是一个有关商店获利的运筹学问题，目的是制订进货及销售计划，使总利润最大，而由题意可以知道:因此，只要对售出商品总价、成本、存贮费进行计算优化，然后再制订出商品的进货与销售计划，使商店所获利润最大即可.3问题的基本假设与符号说明3.1基本假设1该仓库最多能存放10单位商品2该商店每月只能售出仓库现有的货3每个月所购的货只能在下个月初到货4该商品在1月初的存货为上年剩下的，1月份所到的货为上年12月所订5每个月月底存货在下个月的贮存费用每单位0.5千元3.2符号的说明1244模型的建立4.1售出商品总价4.2总成本4

4、.3总的存贮费用由假设4可知:去年12月份存货1月份商品总数为1月份剩余商品数为2月份剩余商品数为3月份剩余商品数为4月份剩余商品数为由于4月份的存货其贮存费算在5月份内可忽略4月份的存货不计即1-4月份四个月内共存货总的存贮费用为4.4目标函数:总利润124目标函数:5模型的求解所建立的数学模型为二次规划模型,含有8个未知量.为了简化计算,把模型分为两个分模型,然后再用数学软件(Matlab)求解出最优解.5.1模型的分解我们把目标函数分解为模型Ⅰ:5.2模型Ⅰ的求解的求解：由于此目标函数为二次非线性规划,故可以用数学软件(Matlab)中的

5、二次优化中的函数可求出程序(见附录一):124可以求出:由于为第月份所购买的商品量,所以,即取整数.故有从而求得，5.3模型Ⅱ的求解的求解易由题意知：易知，此分模型为一次线性规划模型，也可用数学软件（Matlab）求得与.程序(见附录二)：可得到最优解为即当时，5.4的求解所以商店在1~4月份4个月内所获得的总的利润最大为千元.即当商店获得最大利润时，1241~4月内商店对商品的进货量、售货量、存货量以及所获得总的利润如表所示：月份1234进货量（单位）510108售货量（单位）1010108月底存货量（单位）0(5)000总利润（千元）180

6、.0并解得,售出商品的总价为:千元总成本为:总存贮费为:千元.6结果的分析与检验6.1结果的分析用软件求得,当且时,商店能获得的最大利润为180.0千元,即是说能把商店的仓库里所有的存货与所进的货能全售出去的时候,这时,可不计月底存货的存贮费用以及用多余的钱去进可能售出去的货.此时,商店获得的利润最大.6.2结果的检验当时,而上年的12月份存货到1月份有5单位的货,即1月份共有货单位.我们知道,即1月份就把货全售了出去,没货存到2月份.此时,1月份的总售价为千元,存贮费用为千元,总的进货价为千元.1月份所获利润为千元.同理,2月份共有货单位,而

7、售出单位,此时存货为0单位.这时,2月份的总售价为千元,存贮费为0,进货价为千元即2月份所获的利润为千元同理,我们可得,1243月份所获利润为千元.4月份共有货单位,而售出单位,此时不考虑存货量,也同时不存在有货剩余的情况.这时4月份的总售价为千元,进货价为千元,则4月份所获利润为56-56=0千元.即是说4月份是个对商品的订购与销售的结束期,并不能使商店获利.由上述可知,该商店在1~4月份4个月内工获利润为千元此时我们很清楚地知道,检验的结果与求解出来的结果相一致.通过验证,事实证明,当达到上述方案时,商店能获得最大的总利润.所以我们该商店对

8、某种商品制订的进货与销售的计划如下:前3个月进货的量尽量接近仓库的最大容纳的货量,而第4个月通过调查,须适当地减少进货量.即:由于1月初有存货,因而1