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1、第二期(2003年8月)韶关学院学生数学建模论文集No.2商品的订购与销售的数学模型陈润凤1,何敏洪2,官金兰11.韶关学院2001级数学与应用数学本科(1)班广东韶关512005;2.韶关学院2002级数学与应用数学本科班广东韶关512005[摘要]:本问题是有关商店获利的运筹学问题.本文通过对1~4月4个月内商店销售商品的总售价、总成本以及总存贮费的计算,建立了使总利润获利最大的目标函数的数学模型,此模型为一个二次规划的非线性的优化模型.对于所建立的二次规划模型,本文把此模型分解为两个模型:模型Ⅰ、模型Ⅱ
2、,并利用数学软件(Matlab)分别求解这两个模型,得出了1~4月份每月份的进货量分别为5,10,10,8(单位);售出量分别为10,10,10,8(单位);以及每月存贮的商品量分别为0(5),0,0,0(单位).从而解出了1~4月份商店商品的总售价为396千元;总成本为213.5千元;总的存贮费为2.5千元.通过对以上部分的计算求出了4个月内商店所获的最大利润为180.0千元.关键词:二次规划;非线性优化;模型分解1问题的提出某商店在未来4个月内,准备利用商店里一个仓库专门经销某种商品,该仓库最多能存放10
3、单位商品.设商店每月只能售出仓库现有的货,而每月所购的货只能在下个月初到货,又设该商品在1月初的存货为5单位,而1~4月该商品的售价分别为12,9,13,7(千元),而进货价则与进货量有关,分别为其中为第月份的购买量.又设每个月月底存货在下个月的存贮费用每单位为千元.试制订进货及销售计划,使总利润最大.2问题的分析本问题是一个有关商店获利的运筹学问题,目的是制订进货及销售计划,使总利润最大,而由题意可以知道:因此,只要对售出商品总价、成本、存贮费进行计算优化,然后再制订出商品的进货与销售计划,使商店所获利润最
4、大即可.3问题的基本假设与符号说明3.1基本假设1该仓库最多能存放10单位商品2该商店每月只能售出仓库现有的货3每个月所购的货只能在下个月初到货4该商品在1月初的存货为上年剩下的,1月份所到的货为上年12月所订5每个月月底存货在下个月的贮存费用每单位0.5千元3.2符号的说明124第二期(2003年8月)韶关学院学生数学建模论文集No.24模型的建立4.1售出商品总价4.2总成本4.3总的存贮费用由假设4可知:去年12月份存货1月份商品总数为1月份剩余商品数为2月份剩余商品数为3月份剩余商品数为4月份剩余商品
5、数为由于4月份的存货其贮存费算在5月份内可忽略4月份的存货不计即1-4月份四个月内共存货总的存贮费用为124第二期(2003年8月)韶关学院学生数学建模论文集No.24.4目标函数:总利润目标函数:5模型的求解所建立的数学模型为二次规划模型,含有8个未知量.为了简化计算,把模型分为两个分模型,然后再用数学软件(Matlab)求解出最优解.5.1模型的分解我们把目标函数分解为模型Ⅰ:5.2模型Ⅰ的求解的求解:由于此目标函数为二次非线性规划,故可以用数学软件(Matlab)中的二次优化中的函数可求出124第二期(
6、2003年8月)韶关学院学生数学建模论文集No.2程序(见附录一):可以求出:由于为第月份所购买的商品量,所以,即取整数.故有从而求得,5.3模型Ⅱ的求解的求解易由题意知:易知,此分模型为一次线性规划模型,也可用数学软件(Matlab)求得与.程序(见附录二):可得到最优解为即当时,5.4的求解所以商店在1~4月份4个月内所获得的总的利润最大为千元.124第二期(2003年8月)韶关学院学生数学建模论文集No.2即当商店获得最大利润时,1~4月内商店对商品的进货量、售货量、存货量以及所获得总的利润如表所示:月
7、份1234进货量(单位)510108售货量(单位)1010108月底存货量(单位)0(5)000总利润(千元)180.0并解得,售出商品的总价为:千元总成本为:总存贮费为:千元.6结果的分析与检验6.1结果的分析用软件求得,当且时,商店能获得的最大利润为180.0千元,即是说能把商店的仓库里所有的存货与所进的货能全售出去的时候,这时,可不计月底存货的存贮费用以及用多余的钱去进可能售出去的货.此时,商店获得的利润最大.6.2结果的检验当时,而上年的12月份存货到1月份有5单位的货,即1月份共有货单位.我们知道,
8、即1月份就把货全售了出去,没货存到2月份.此时,1月份的总售价为千元,存贮费用为千元,总的进货价为千元.1月份所获利润为千元.同理,2月份共有货单位,而售出单位,此时存货为0单位.这时,2月份的总售价为千元,存贮费为0,进货价为千元即2月份所获的利润为千元同理,我们可得,124第二期(2003年8月)韶关学院学生数学建模论文集No.23月份所获利润为千元.4月份共有货单位,而售出单位,此时不考虑存货