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1、第32卷第3期数学的实践与认识Vol132No132002年5月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYMay,2002建模钢管订购与运输问题一的数学模型与求解122杨振华,胡国雷,郭跃华(11南京邮电学院应用数理系,南京210003)(21南通工学院,南通226007)摘要:本文针对2000年全国大学生数学建模竞赛B题—钢管订购与运输问题的问题,建立了数学模型,并给出了该数学模型的精确求解.关键词:数学模型,订购;运输;钢管记铺设管道A1A15上任一点到A1的管道距离为x,令fi(x)为钢厂Si生产并运输单位钢管
2、至x处的最小总费用.记Aj坐标为aj,Si生产并运输单位钢管至Aj的最小费用为qij(aj与qij的数据由表1给出).表1Si生产并运输单位钢管至Aj的最小总费用(qij)表S1S2S3S4S5S6S7A1(0)330.7370.7385.7420.7410.7415.7435.7A2(104)320.3360.3375.3410.3400.3405.3425.3A3(405)300.2345.2355.2395.2380.2385.2405.2A4(1155)258.6326.6336.6376.6361.6366.6386.6A5
3、(1761)198266276316301306326A6(1955)180.5250.5260.5300.5285.5290.5310.5A7(2160)163.1241251291276281301A8(2361)181.2226.2241.2276.2266.2271.2291.2A9(3041)224.2269.2203.2244.2234.2234.2259.2A10(3521)252297237222212212236A11(3821)256301241211188201226A12(4041)26631125122120
4、6195216A13(4251)281.2326.2266.2236.2226.2176.2198.2A14(4671)288333273243228161186A15(5171)302347287257242178162注:表中第一列给出了Aj的坐标若x∈AjAj+1,易知:fi(x)=min(qij+0.1([x-aj]+1),qi,j+1+0.1([aj+1-x]+1)fi(x)(i=1,2,⋯,7)的图形见图1.其中[x-aj]表示取x-aj的整数部分.收稿日期:2001202216©1994-2008ChinaAcademi
5、cJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net354数学的实践与认识32卷图1最小费用函数fi(x)(i=1,2,⋯,7)方案的区间表示到达Aj的钢管的铺设费用,只与由Aj向左向右铺设的长度有关,不受其铺设中任一段使用何厂的钢管影响,故可将同一厂运来的钢管向左或向右铺成一个区间以简化方案,因而715任一方案可表示为∪∪[aij,bij]i=1j=1715引理问题1的最优解中,一定存在一组可表示为∪∪[aij,bij]形式的最优解,其中i=1
6、j=1aij,bij均为整数.(证明见[1])我们称长度为1,且端点值为整数的区间为单位区间.若e为单位区间,记fi(e)为fi(x)在e内任一点的取值,显然fi(e)=∫fi(x)dx.e设Ei<[0,5171]为Si生产、运输钢管的集合,其总费用为∫fi(x)dx,因此原问题的数Ei学模型为模型1:7min∑∫fi(x)dxEi=1is.t.LEi∈{0}∪[500,si](i=1,2,⋯,7)7L(Ei∩Ej)=0,(i,j=1,2,⋯,7,i≠j),∪Ei=[0,5171].i=1注1)L(Ei∩Ej)=0,即Ei∩Ej=<,
7、表示钢厂Si与Sj铺设的钢管无重叠部分.2)在解集中,区间是开区间或闭区间对原问题是同一个解.我们先取消S5,S6生产的上下限的限制,建立模型2:7min∑∫fi(x)dxEi=1is.t.LEi∈{0}∪[500,si](i=1,2,3,4,7)7LE5≥0,LE6≥0,L(Ei∩Ej)=0,(i,j=1,2,⋯,7,i≠j),∪Ei=[0,5171].i=1命题1若模型2的最优解是模型1的可行解,则必是模型1的最优解.©1994-2008ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.A
8、llrightsreserved.http://www.cnki.net3期杨振华等:钢管订购与运输问题一的数学模型与求解355证明由模型1的可行域为模型2的可行域的子集易得.定理2(差价控制定理)在Aj与Aj+1之间任
