最优化问题的数学模型.doc

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1、第一章最优化问题的数学模型　　数学模型是对实际问题的数学描述和概括，是进行最优化设计的基础。根据设计问题的具体要求和条件建立完备的数学模型是最优化设计成败的关键。这是因为最优化问题的计算求解完全是针对数学模型进行的。也就是说，最优化计算所得最优解实际上只是数学模型的解，至于是否是实际问题的解，则完全取决于数学模型与实际问题符合的程度。　　工程设计问题通常是相当复杂的，欲建立便于求解的数学模型，必须对实际问题加以适当的抽象和简化。不同的简化方法得到不同的数学模型和计算结果，而且一个完善的数学模型，往往需要在计算求解过程中进行反复地修改和补充才能最后得到

2、。由此可见，建立数学模型是一项重要而复杂的工作：一方面希望建立—个尽可能完善的数学模型，以求精确地表达实际问题，得到满意的设计结果；另一方面又要力求建立的数学模型尽可能简单，以方便计算求解。要想正确地协调这两方面的要求，就必须对实际问题及其相关设计理论和设计知识有深人的理解，并且善于将一个复杂的设计问题分解为多个子问题，抓住主要矛盾逐个加以解决。　　本章通过几个简单的最优化设计简例，说明数学模型的一般形式、结构及其有关的基本概念。1．1设计简例　　下面是3个最优化设计简例，可以看作几个复杂工程设计问题的子问题，虽然比较简单，但却具有一定的代表性。　　

3、例1—1用一块边长3m的正方形薄板，在四角各裁去一个大小相同的方块，做成一第3页个无盖的箱子，试确定如何裁剪可以使做成的箱子具有最大的容积。　　解：设裁去的4个小方块的边长为x，则做成的箱子的容积为　　f(x)＝x(3—2x)^2于是，上述问题可描述为　　求变量x　　使函数f(x)＝x(3—2x)^2极大化　　这样就把该设计问题转化成为一个求函数f(x)最大值的数学问题。其中，I是待定的求解参数，称为设计变量；函数f(x)代表设计目标，称为目标函数。由于目标函数是设计变量的三次函数，并且不存在任何限制条件，故称此类问题为非线性无约束最优化问题。　　根

4、据一元函数的极值条件，令f′(x)＝0，解得x＝0．5，f(x)＝2．0，记作x*=0．5，f(x)=2．0，称为原设计问题的最优解。　　例1—2某工厂生产甲、乙两种产品，生产每种产品所需的材料、工时、用电量和可以获得的利润，以及每天能够提供的材料、工时、用电量见表1—1，试确定该厂两种产品每天的生产计划，以使得每天获得的利润最大。　　解：这是一个简单的生产计划问题，可归结为在满足各项生产条件的基础上，合理安排两种产品每天的生产量，以使利润最大化的最优化设计问题。　　设每天生产甲产品x1件，乙产品x2件，每天获得的利润用函数f(x1，x2)表示，即第

5、二章最优化设计的数学基础2．1向量与矩阵第23页2．2方向导数与梯度第三章一维搜索(线性搜索)　　第1章知，下降迭代算法中在搜索方向s，上寻求最优步长ak时通常采用一维搜索，亦称线性搜索。　　一维搜索是构成非线性最优化算法的基本算法，因为多元函数的迭代求解都可归结为在一系列逐步产生的下降方向上的一维搜索。　　一维搜索的数值迭代算法可分两步进行。首先确定一个包含极小点的初始区间，然后采用逐步缩小区间或反复插值逼近的方法求得满足一定精度要求的最优步长和极小点。3．1确定初始区间　　设f(x)在考察区间内为一单谷函数，即区间内只存在一个极小点。这样在极小点

6、的左侧，函数单调下降；在极小点的右侧，函数单调上升。若已知该区间内的相邻3个点x1

7、题　　minf(X)　　(4—1)的数值迭代解法，称为无约束最优化方法。无约束最优化方法是构成约束最优化方法的基础算法。　　如前所述，求解无约束最优化问题的下降迭代解法具有统一的迭代格式，其基本的问题是选择搜索方向和在这些方向上进行一维搜索。由于构成搜索方向的方式可以不同，从而形成了各种不同的无约束最优化算法。　　根据搜索方向的不同构成方式，可将无约束最优化方法分为导数法(亦称解析法)和模式法(亦称直接法)两大类。　　利用目标函数的一阶导数和二阶导数信息构造搜索方向的方法称为导数法，如下面将要介绍的梯度法、牛顿法、变尺度法和共轭梯度法。由于导数是函数

8、变化串的具体描述，因此导数法的收敛性和收敛速度都比较好。目前较为实用的最优化算法程序大都采用这类方法。　　模