最优下料问题的数学模型

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1、最优下料问题的数学模型摘要本文通过对两个问题进行分析，分别建立模型一、模型二。针对模型一，设计程序贪心算法，通过Matlab编程，得出相应结果。针对模型二，文中通过将二维问题转换成为一维问题，引用规划模型，做出相应分析。在问题一中，为解决一维下料问题，根据一维下料问题的特点，建立起由其约束条件组合而成的规划模型，在随机决策的基础上利用贪心算法取每个决策中的最优值，较快地获得问题的最优解为：前6天下料方案整和为一个方案比制定4天，6天方案更优，且前6天需用原材料根数为268，利用率为99.21%，3天完成；剩余下料方案为需

2、用原材料根数为538，利用率为98.92%，6天完成。（详见表6-1和附录表6-2、表6-3）在问题二中，基于零件长、宽两个方向上的限制的情况后，根据问题2中待加工的零件的宽只集中在50mm，30mm，35mm，20mm四种规格上，将二维问题转化为一维问题，分别用一维下料问题的方法寻求四种宽度条材在一维情况下的最优方案。在这一过程中，可根据一维下料问题求解的方法，建立模型二，解多目标整数规划，再进行最优组合，可以得到两个阶段所使用的条材。关键词：贪心算法最优下料规划1一、问题的重述“下料问题(cuttingstockpr

3、oblem)”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题，此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用.这里的“实用下料问题”则是在某企业的实际条件限制下的单一材料的下料问题。现考虑单一原材料下料问题.设这种原材料呈长方形，长度为L,宽度为W，现在需要将一批这种长方形原料分割成m种规格的零件,所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为(l,w),,(l,w)，其中wi＜lL,wW,i1,,m.m种零件11mmii的需求量分别为n,,n.下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行

4、。这类问题在1m工程上通常简称为二维下料问题。特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即wW,i1,,m，则问题称为一维下料问题。i一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经济效益。其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任务。因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。此外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。因此实用下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务,同时下料

5、方式数也尽量地小.请你们为某企业考虑下面两个问题。1、建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型,并用此模型求解下列问题，制定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案,同时求出等额完成任务所需的原材料数，所采用的下料方式数和废料总长度.单一原材料的长度为3000mm,需要完成一项有53种不同长度零件的下料任务.具体数据见表一，其中l为需求零件的长度，n为ii需求零件的数量.此外，在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm.据估计，该企业每天最大下料能力是100块，要求在4天内完成的零件标号(i)为:5,7,9,12,15

6、,18,20,25,28,36,48;要求不迟于6天完成的零件标号(i)为:4,11,24,29,32,38,40,46,50.(提示：可分层建模。(1).先考虑用材料既少,下料方式又少的模型,或先仅考虑所用材料最少的模型及增加一种下料方式大致相当于使原材料总损耗增加0.08%情况下的最佳方案。2(2).在解决具体问题时,先制定4天的下料方案,再制定6天的下料方案,最后制定53种零件的下料方案.这一提示对第2题也部分适用.)2、建立二维单一原材料实用下料问题的数学模型,并用此模型求解下列问题.制定出在企业生产能力容许的条

7、件下满足需求的下料方案,同时求出等额完成任务所需的原材料块数和所需下料方式数.这个问题的单一原材料的长度为3000mm,宽度为100mm,需要完成一项有43种不同长度和宽度零件的下料任务.具体数据见表二，其中l,w,niii分别为需求零件的长度、宽度和数量.切割时的锯缝可以是直的也可以是弯的，切割所引起的锯缝损耗忽略不计.据估计，该企业每天最大下料能力是20块要求在4天内完成的零件标号(i)为:3,7,9,12,15,18,20,25,28,36.二、问题的假设（1）问题一中的零件厚度和宽度均与原材料相等；（2）问题二中

8、的零件厚度均与原材料相等。（3）切割过程中无人工误差三、符号的说明3.1问题一的符号说明符号说明k等额完成任务所需的原材料数maxk原材料个数i零件标号x在第k个原材料上切割的第i个零件标号的零件数量kim规格种数l需求零件长度iL单一原材料长度d(i1,2,,m)需求零件数量is需下料的全部零件总长度Q下料方式