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《高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2.1绝对值三角不等式课件新人教A版.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二 绝对值不等式1.绝对值三角不等式【自主预习】1.绝对值的几何意义原点距离长度a2.绝对值三角不等式(1)定理1:如果a,b∈R,则
2、a+b
3、≤________,当且仅当______时,等号成立.(2)定理1的推广:如果a,b是实数,则
4、
5、a
6、-
7、b
8、
9、≤
10、a±b
11、≤
12、a
13、+
14、b
15、.
16、a
17、+
18、b
19、ab≥0(3)定理2:如果a,b,c∈R,那么
20、a-c
21、≤
22、a-b
23、+
24、b-c
25、,当且仅当______________时,等号成立.(a-b)(b-c)≥0【即时小测】1.已知a,b∈R,则使不等式
26、a+b
27、<
28、a
29、+
30、b
31、一定成
32、立的条件是()A.a+b>0B.a+b<0C.ab>0D.ab<0【解析】选D.根据绝对值的意义,可知只有当ab<0时,不等式
33、a+b
34、<
35、a
36、+
37、b
38、成立.2.对任意x,y∈R,
39、x-1
40、+
41、x
42、+
43、y-1
44、+
45、y+1
46、的最小值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.对任意x,y∈R,
47、x-1
48、+
49、x
50、+
51、y-1
52、+
53、y+1
54、=
55、x-1
56、+
57、-x
58、+
59、1-y
60、+
61、y+1
62、≥
63、x-1-x
64、+
65、1-y+y+1
66、=3,当且仅当x∈[0,1],y∈[-1,1]时,等号成立.3.不等式
67、x+1
68、+
69、x-1
70、≥a恒成立,则实数a的
71、取值范围为_________.【解析】因为
72、x+1
73、+
74、x-1
75、≥
76、(x+1)-(x-1)
77、=2,当且仅当-1≤x≤1时等号成立,所以,使不等式
78、x+1
79、+
80、x-1
81、≥a恒成立的实数a的取值范围为a≤2.答案:a≤2【知识探究】探究点绝对值三角不等式1.用向量a,b分别替换a,b,当a与b不共线时,有
82、a+b
83、<
84、a
85、+
86、b
87、,其几何意义是什么?提示:其几何意义是:三角形的两边之和大于第三边.2.不等式
88、a
89、-
90、b
91、≤
92、a+b
93、≤
94、a
95、+
96、b
97、中“=”成立的条件分别是什么?提示:右侧“=”成立的条件是ab≥0,左侧“=”成立
98、的条件是ab≤0且
99、a
100、≥
101、b
102、.【归纳总结】1.对定理1的两点说明(1)由于定理1与三角形边之间的联系,故称此不等式为绝对值三角不等式.(2)定理1可推广到n个实数情况即:
103、a1+a2+…+an
104、≤
105、a1
106、+
107、a2
108、+…+
109、an
110、.2.定理2的几何解释在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当点B在点A,C之间时,
111、a-c
112、=
113、a-b
114、+
115、b-c
116、.当点B不在点A,C之间时,(1)点B在A或C上时,
117、a-c
118、=
119、a-b
120、+
121、b-c
122、.(2)点B不在A,C上时,
123、a-c
124、<
125、a-b
126、+
127、b-c
128、.类型一利用绝对值三角
129、不等式证明不等式【典例】设函数f(x)=x2-2x,实数
130、x-a
131、<1.求证:
132、f(x)-f(a)
133、<2
134、a
135、+3.【解题探究】典例中对于
136、f(x)-f(a)
137、如何构造,使其满足绝对值不等式的形式?提示:
138、f(x)-f(a)
139、=
140、x2-2x-a2+2a
141、=
142、x-a
143、
144、x+a-2
145、.【证明】因为函数f(x)=x2-2x,实数
146、x-a
147、<1,所以
148、f(x)-f(a)
149、=
150、x2-2x-a2+2a
151、=
152、x-a
153、
154、x+a-2
155、<
156、x+a-2
157、=
158、(x-a)+2a-2
159、≤
160、x-a
161、+
162、2a-2
163、<1+
164、2a
165、+2=2
166、a
167、+3,所以
168、f
169、(x)-f(a)
170、<2
171、a
172、+3.【方法技巧】两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用
173、
174、a
175、-
176、b
177、
178、≤
179、a±b
180、≤
181、a
182、+
183、b
184、,通过适当的添、拆项证明.另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.【变式训练】1.设m是
185、a
186、,
187、b
188、和1中最大的一个,当
189、x
190、>m时,求证:<2.【解题指南】利用m≥
191、a
192、,m≥
193、b
194、,m≥1求解.【证明】因为
195、x
196、>m≥
197、
198、b
199、且
200、x
201、>m≥1,所以
202、x2
203、>
204、b
205、.又因为
206、x
207、>m≥
208、a
209、,所以故原不等式成立.2.若f(x)=x2-x+c(c为常数),
210、x-a
211、<1,求证:
212、f(x)-f(a)
213、<2(
214、a
215、+1).【解题指南】将
216、f(x)-f(a)
217、分解成含
218、x-a
219、的形式,再利用
220、x-a
221、<1证明.【证明】
222、f(x)-f(a)
223、=
224、x2-x+c-(a2-a+c)
225、=
226、x2-x-a2+a
227、=
228、(x-a)(x+a-1)
229、=
230、x-a
231、·
232、x+a-1
233、<
234、x+a-1
235、=
236、(x-a)+(2a-1)
237、≤
238、x-a
239、+
240、2a-1
241、≤
242、x-a
243、+
244、2a
245、+
246、1<1+2
247、a
248、+1=2(
249、a
250、+1).类型二利用绝对值三角不等式求最值或取值范围【典例】求函数y=
251、x-3
252、-
253、x+1
254、的最大值和最小值.【解题探究】典例中求
255、x-3
256、-
257、x+1
258、的最值可利用哪个绝对值不等式?提示:根据
259、
260、a
261、-
262、b
263、
264、≤
265、a-b
266、求最值.【解析】因为
267、
268、x-3
269、-
270、x
