数值分析复习.doc

《数值分析复习.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一、提纲１、高斯消去法、全选主元消去法、列选主元消去法、LU分解、对称矩阵的分解，对称正定矩阵的分解，三对角阵的追赶法。２、向量空间距离的概念<向量范数、矩阵范数）、谱半径３、解线性方程组的迭代方法：Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代方法，及其收敛性４、求最大<小）特征值的幂法与反幂法二、要点１、对于线性方程组如果的所有顺序主子式，则高斯消去法可以完成。其过程如下将方程组的第一行乘加到第，消去中除了第一行之外的第一列元素，得到其中得到一个等价的方程组将方程组的第二行乘加到第，消去中除了第一、二行之外的第二列元素，得到其中依此类推，可以得到一般的表达式如果只满足，那么就得

2、在消去之前调整元素的大小，将绝对值最大的元素做为消去除法中的分母。即要保证40/40，这样得到的方法称为全选主元素方法，为了减小选择主元过程的运算量，只保证，这样得到的方法称为列选主元方法。2、三角分解，设为阶矩阵，如果的顺序主子式，则可唯一分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，且这种分解是唯一的。即其中于是原来的方程组可以写成令，则求解原方程组可分两步完成，首先由求出，这只要再从，求出，这只要３、对称正定矩阵的三解分解<也称Cholesky分解）如果为阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三角阵使，当限定的对角元素为正时，这种分解是唯一的。即其中。于是解线性方程组可以能

3、过以下三个步骤完成<１）计算，这只要对40/40，计算<２）令，对求出，这只要<３）对，求出，这只要４、为了避免上面计算时的开方运算，可以将原来的算法改成，这种分解对于所有的对称矩阵都是成立的。显然对于对称正定矩阵也是成立的。其过程可以写为其中方程组求解过程：40/40５、追赶法，如果方程组中的是一个三对角阵，即则它的LU分解为其中原方程的求解过程为：令，注：这样的方程有唯一解，且数值稳定的一个充分条件是是对角占优的。６、向量、矩阵的范数<１）向量的－范数：<２）向量的１－范数：<３）向量的２－范数：<４）矩阵的算子范数：<５）矩阵的－范数：，也称行和范数<６）矩阵的１－范数：40

4、/40，也称列和范数<７）矩阵的２－范数：，为矩阵的最大特征值。７、谱半径：；注意谱半径一些重要结论：<１）谱半径，是的任意范数的下界；<２）若，则<３）设，则的充分必要条件是８、将写成等价的形式，如果则，对，做迭代得到的向量序列在范数意义下有极限，且，即。选择不同的等价表达式可以得到不同的迭代格式。其中最简单的两种是Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代。９、Jacobi迭代将方程组写成从第i个方程解出，即对应的迭代格式为：写成矩阵形式就有为了得到更直观的表达式，将写为于是称为Jacobi迭代矩阵，其收敛的充公必要条件是40/40９、Gauss-Seidel迭代其原理是在

5、Jacobi迭代的基础上改进而来的。其分量形式可以写为写成矩阵形式为：这里的B称为Gauss-Seidel迭代矩阵，其收敛的充分必要条件是。10、验证迭代过程收敛性的两种重要手段：因为，虽然可以验证迭代矩阵的谱半径与１的大小的关系来判断迭代过程的收敛性，但由于谱半径的计算并非一件容易的事情，这里有两个判断迭代收敛性的充分但不必要条件：<１）若迭代矩阵的某种范数小于１，那么迭代是收敛的<注：信息与计算科学专业的学生要求掌握它的证明过程）<２）若线性方程组系数矩阵是对角占优的，那么Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代都是收敛的。<３）若线性方程组系数矩阵是弱对角占优，且不可约

6、的，那么Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代都是收敛的。<选读）示例１、用Gauss消去法、全选主元方法、列选主元方法求解方程组解：<１）用Gauss消去法求解第一行乘加到第二行，第一行乘加到第三行，可以得到第二行乘6加到第三行，可以得到从第３行求出，从第二行求出，从第一行求出<２）用全选主元方法将方程组写成矩阵方式有在矩阵40/40中找到绝对值最大者，将交换到所在的位置，可得对应用Gauss消去过程，再做一次消去法，得解得请同学们自行演算下面两题<１）用Gauss全选主元方法求下列方程组的解：，参考解：<２）用列选主元法求矩阵的行列式。参考答案：２、用LU分解的方法求下

7、列两个方程组的解与解：由于两个方程组的系数矩阵是一样的。把上面的两个线性方程组写为：其中40/40作的LU分解，有其中所以令可以求得令可以求得注：LU分解的最大的好处在于求解的方程组序列，只要做一次LU分解，然后多次回代计算即可求解。要注意掌握。３、求解线性方程组解：<１）用Gauss消去法可以不用交换行与列，参照前面的例子，自己演算。<２）把它写成矩阵的形式有40/40显然它是对称的，容易计算它的三个顺序主子式所以是一个对称正定的。故可以分解为用两个矩阵相乘比较对应