资源描述：
《［推荐精品］数值分析复习.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、提纲i、高斯消去法.全选主元消去法、列选主元消去法、lu分解、对称矩阵的LDlI分解，对称正定矩阵的厶〃分解,三対角阵的追赶法。2、向量空间距离的概念（向量范数、矩阵范数）、谱半径3、解线性方程组的迭代方法：Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代方法，及其收敛性4、求最大（小）特征值的杲法与反溶法要点1.对于线性方程组AX=b/a\a2…仏、A=a2••■a22■■■…a2n••••••,b=h2••■an2•••Clnn/如果A的所有顺序主子式H0,则高斯消去法可以完成。其过程如下将方程组的第一•行乘一也丄加到第k,消去4屮除了第一行之外的第一列元索，得到A⑴二aw0•
2、■%2a⑴U22•■…仏'...Q⑴U2n••••历⑴=••■<0©2⑴••门⑴…Unn丿3⑴宀7其中知⑴=.x^-,Q⑴=bi一1人x—=2,3,・.・,neg得到一个等价的方程组A⑴尢=/?（
3、）将方稅组的第二行乘一纟窃■加到第£,消去/V"中除了第一、二行之外的第二列元索，得到/a\a2a30a⑴U22a⑴U230■0■(2)av7u33•••<0■■0•■（2）鑫3ain、如⑴b⑴u2(2)(1'9U3n■■，沪习=b⑵■•(2)%丿/其中(I)八⑵—“勺2/?0)_h_aij_aij~a2jx(iy4_q_a22X叫加=3,4,…刁a22八)X—,i=R+1,・・・
4、,〃Qr+M+1依此类推，对以得到一般的表达式n(k+1)_〃_n(k)v稣+1h(1)-h-aij-aij_akjx0)oq・°k+l,k+la(7ukk=maxga(I)ukk=maxi>kaik如果只满足A工0,那么就得在消去之前调整元索的大小,将绝对值最大的元素做为消去除法中的分母。即要保证，这样得到的方法称为列选丄元方浓。afj,这样得到的方法称为全选主元索方法，为了减小选择主元过程的运算量，只保证2.三角分解，设A为n阶矩阵，如果力的顺序主子式DtH0,则A可唯一分解为一个瑕位下三角矩阵L和一个上三角矩阵〃的乘积，且这种分解泉唯i的。即A=LU•fweln2•:/?ll11
5、U12••-ull22•■•-u■2n■■•llHH_-(//2-a-・nd=rrM/?a-=/r/L+r=Gjtrw/<丁是原來的方務组可以写成AX=boLUX=b令"X=y,则求解原方程纠可分曲步完成，首先由Ly=方求出y,这只要1-1X=2-工〈儿，(心2,3,…,/?)再从UX=y,求出X,这只要叫■%心-X-工％耳=—皿——-1,…,1)3、对称止定矩阵的三解分解（也称Cholesky分無）如果A为11阶对称止定矩阵，则存在一个实的非奇异下三角阵厶使4=LIJ＞当限定乙的对角元索为正时，这种分解是唯一的。即4‘22其中厶＞0。于是解线性方和组4X=b可以能过以下三个步骤完
6、成＜1）计算L，这只要对j=,计算(H、1/2a.uk=)（2、令UX=Ly=b,对Ly=b求出y,这只要b厂工*儿片=—F—Xz=1,2,•••,/?)（3）对〃X=y,求出X,这只要X-工/曲七=十，G=心2—1,・・・,1）hi4.为了避免上面计筛厶时的开方运算，可以将原来的算法改成力=LDL1,这种分解对于所有的对称矩阵都是成立的。显然对于对称正定矩阵也是成立的。其过程可以写为A=LDlJ=211nln2nln2dn其中liJ-l-工*d」jk*=1dJi-ldi=aii-D"*=1,(7=1,2,-方程组求解过程：LY=b=>yX=*；g-如"•••,“)心1DlJX=
7、y=>Xv_A.£一〒，dnynxi=~r~工4H，(j=“T,n—2,・・・,l)Jz+i5、追赶法，如果方程组4X=于中的A是一•个三对角阵，即ba2C
8、b2Cln-1bn-lSianbn则它的LU分解为wldu2d2A=LU=其中dj=qJ=12・・・/Tu=b•h==2,3,•••,/?Uj=bi一也_门=2,3,•••,/!原方程的求解过程为：令£/=/=>Y.UX=y=>X,』=/
9、.X=乞一/»】，（心2,3,・・・,“）兀一乙b一X,.=b一°內」,z=72-1,71-2,--Jui注:这样的方程有唯一解.且数值稳定的一个充分条件是A是对角占优的。6、向量、矩阵
10、的范数（1）向鱼的8—范数:
11、
12、X
13、
14、=maxx.11lloci如'（2）向量的1一范数：凶"刖/=!（3）向量的2—范数:<4）矩阵的算片范数:凶2hllv（5）矩阵的00—范熟
15、
16、A
17、
18、z=max£hj，也称行和范数皿"；=1（6）矩阵的1一范数：Mh=maxm“，也称列和范数（7）矩阵的2—范数：
19、
20、州，=妆二（戸亍），2maxA）为矩阵ATA的最大特征值。7、谱半径：p（/4）=maxlAj；注意谱半径一些重要结论：国如1<1）谱半径p
