数值分析习题(推荐）

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1、习题一1.11.2求下列各数的具有四位有效数字的近似值，并指出萇绝対误差限和和对误差限兀］=J101,兀2=J121,兀=ln(O.l)下列各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似值，指出它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数。兀：=0.0315,兀；=0.3015,x；=31.50,兀;=5000,x；=5.OxlO313为了使訥近似值的相对误差不超过。爲问应取几位有效数字?1.4怎样计算下列各题才能使得结果比较精确？(1)sin(x+^)-sinx,其中8充分小⑵「"出其中N是充分大的正数h1+x2(3)1—C0S,其中国充分小sinx⑷1—cosl"⑹ln(104-V108

2、-l)1.5求方程/_56兀+1=0的两个根，使至少具有四位有效数字。习题二2.1证明方程x3+x-4=0在区间［1,2］内有且仅有一个根。如果用二分法求它具有五位有效数字的根，试问需对分多少次？(不必求根)2.2用二分法求方程x4-3x+1=0在［030.4］内的一个根，梢度要求£=丄X10_2o22.3找出下列方程的有根区间，选择适当的初始点用二分法求方程的根，精度耍求£=IO'2。(1)x-2'x=0；(2)幺、+2“+cosx—6=0；(3)tanx-x-1=0；(4)2e~x-sinx=0o2.4考虑方程-3x2=0,将其改吗为兀二土再，取兀。=0,用两种迭代公式迭代,分别

3、收敛到1.0和-0.5附近的两个根(取精度要求$=10」)o2.5为求方程x3-x2-=0在x=.5附近的一个根，建立下列形式的迭代公式:%3=1+X2,21X—y=>X—⑵⑶试分析每一种迭代公式的收敛性。2.6考虑用迭代法求解下列方程：1r(1)x——(2—幺X+x)；(1)X=5~x；

4、卜•列方程，如果不能，请给出收敛的迭代公式。(1)x=—(cosx+sinx)；4(2)x=4-2X02.9已知x=0(x)在区间内冇一个根，H•当aZ:>10试问如何将x=0(兀)化为收敛的迭代公式。2.10用Steffensen加速迭代法求方程x=x3-1在［1丄5］内的根2.11试用Newton法求方程^-3x2=0的根，分別取初始点x0=-0.5,1.0,4.0,精度要求为£=1002.12选择适当的初始点，试用Newton法求出满足精度要求为£=10」的解(1)X——(2—c'4-X);(2)x2+10COSX=00243导出计算4ci(d>0)的Ne

5、wton迭代公式,使公式11'即无开方乂无除法运算。2・14设(x)=Vx,-V-X,XG[0,00)XG(-00,()),函数壬(兀)和九(无)X€(-00J))均有零点x=0,分别讨论用Newton法解£(%)二0和/2(x)=0是否收敛？收敛的阶是多少？2.15用Newton法设计一种不用除法的迭代公式，求正数c的倒数，并证明：当初值忑满足20

6、=(x3-a)2/写出解/(%)=0的Newton迭代公式，并证明迭代公式是线性收敛的。2.19设非线性方程/(x)=(%3-3x2+3x-l)(x+3)=0,其根x；=-3,x；=l.写出求兀；的近似值时，二阶局部收敛的Newton迭代公式和求兀；的近似值时，二阶局部收敛的Newton迭代公式。1.19设f(x)=0有根，且0

7、()，试确定C使序列忑+】=g(忑)收敛于d且尽可能收敛得快。习题三3.1考虑线性方程组(1)用顺序Gauss消去法求解该方程组;(2)用LU分解算法求解该方程组。3.2考虑线性方程纟R2X]—11—2x711(1)用顺序Gauss消去法求解该方程组；(2)用列主元Gauss消去法求解该方程组。3.3考虑线性方程组+4.53兀3-1.30x3_1.48兀30.051.03-0.532.5lXj+1.48x21.48x,+0.874兀22.68jj+3.04