［推荐］9数值分析

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1、完成以下各题。题目全部使用公式进行计算，不用程序代码。1.叙述在数值运算中误并的來源？误并分析的原则是什么？误差的来源%1.模型谋差：对实际问题抽象，简化得到的数学模型与实际现象之间的谋差%1.观测误差：参量观测带來的误差%1.截断误差：简化引起的误差%1.舍入谋差：数据舍入成一定位数造成的谋差谋差分析的原则：%1.避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法%1.避免两相近数和减三•防止大数“吃掉”小数%1.注意简化计算步骤，减少运算次数%1.要冇数值稳定性，即能控制舍入误差的传播2.将Newton-Cotes求积公式

2、、复化求积公式、Romberg算法、Gauss求积公式等儿种数值积分法进行比较。梯形求积公式和Simpson求积公式虽然计算简单、使用方便，但是精度较差，但对于光滑性较羌的被积函数有时比高精度方法更为冇效。尤其梯形公式对被积函数是周期函数的效果更为突出。n>7时，Newton-Cotes公式是不稳定的，而复化梯形公式和复化Simpson公式在保帘了低阶公式的优点，又能获得较高的精度，因此在实际计算中应用的最为广泛。利用二分技术得到的Romberg方法的算法简单，易于编程实现。当节点加密提高积分近似程度时，前面计算的结

3、果可以为后面所用，对减少计算量很有好处，并有比较简单的误差估计，能得到若干积分序列，如果在做收敛性控制时，同吋检查各行、各列，对于不同性态的函数可以用-其中最快的收敛序列來逼近积分。高斯型求积公式的精度较高，特别对计算无穷积分和瑕积分方面是其它方法所不能比拟的。但因为其节点不规则，当节点增加时，前血计算的函数值不能为麻面所用，上机计算时还要预先存入不同N值的节点值和系数表，比较麻烦。3.对于一阶微分方程的初值问题数值解法的基本特点是采用“步进法”，将求解区间和微分方程进行离散化，建立求数值解的递推公式。现由己建立的递

4、推公式儿+1U儿+空［/（£,儿）+/（陥

5、,儿+J］，叙述改进的欧拉法的基木思想和计算步骤。解：改进欧拉法的计算准确，是对欧拉法的改进h基本思想：用己建M的递推公式儿+1U儿+^［.f（X，儿）+/（%“+】，儿+1）］可知，该公式为隐式表达式，需要对它进行迭代求解，先用欧拉方法求得一个初步的近似值，记为y⑼曲称之为预报，预报值的精度不高，用它替代递推公式右端的儿+「这样就建立了一个预报校正系统预报：y(Q)n+i=yn+hf(xn,yn)h校正：儿石[/(£,儿)+/(£+】,鹉)](n=0,1……N-1)这就是

6、采用一次迭代法的改进欧拉预估一校正法公式同理，我们可以得到反复迭代的改进欧拉法预报一校正系统如下y⑼“+1二儿+hf(xn,yn)h)<7i+=y^-[f(xnytt)+f(xn+，y(^)]1……nt,口】二o,i……)h3改进欧拉法的局部截断误差Rn+1=—V”(佥+1)Xn<佥+1

7、(xO,yO)可以得出严i(2)：将y(°)i代入校止公式nJ得y(1)i(3)：重复步骤12进行迭代，可得微分方程的解1.已知函数『=一的一组数据兀=0,1,2,必=1,0.5,0.2。求分段线性插值函数,1+Q并计算/(1.5)的近似值。解:取步长h=0.2,插值节点为xi=0+i/5(1=0,1,2-10)因为1.5e[1.4,1.6]取次区间为线性插值区间，其上的插值函数为：P(x)二f(1.6)兀一'4+f(1.4)Z61.6-1.41.4-1.6f(1.6)=0.2809,f(1.4)=0.33781.4

8、

9、R(x)

10、=

11、/(1.5)一P(1.5)

12、=0.00171.函数，在区间[-1,1]有近似分段二次插值多项式，在节点等距的情况下，使用多少个插值节点能够保证截断误差不超过0.5x10=解：f(x)=ef(x)=ex

13、O)[x-(xO+/?)]

14、令<0.5x10-5得h=0.039V3则插值节点数n=2+l=67・6所以取68个节点h1.已知P(-l)=-1,P(O)=PO)=0,戶⑴=P*(l)=1,求一个不高于4次的插值多项式,并写出余项。解：用Hermite插值求解令马(兀)=aQ+axx+a2x2+a3x3+a4x4由4(-1)=-1*d()—+禺