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1、数值分析重点第一章误差分析近似数误差大小的度量方法：绝对误差/相对误差侑效数字1、有效数字的判断定义：从末尾到第一个非零数字之间的所有数字的个数。几个重点结论：（1）、设数X的近似值可以表示为兀"=±0.a1a2…a”x10"'其中m是整数,“（T2,・・・m）是0到9中的一个数字，而J工0・如果其绝对误差限为x_x*函x10OT_1x-x*<-xiom-w2得到相对误
2、差限I*
3、丄xl0〃i[
4、eQ）
5、=
6、乎”衆而才瓦x10如）截断误差（方法误差）和舍入误差（计算误差）2•误差的分类：模型误差、观测误差、3•误差算法设计应注意的问题:（1）、避免两个相近的数相减考虑能否改变一下算法（2）、防止大数“吃掉”小数当一组数进行相加运算时，应按照由小到大的次序进行相加。（3入绝对值太小的数不宜作除数考虑能否改变一下算法（4）、注意简化计算程序，减少计算次数（5）、选用数值稳定性好的算法4、误差的传播：Taylor展开式：f（Xj,x2,・・・，xj在（X】*,血*,・・・，xn*）的展开:e(y)=f(X],x2xn)-f(xi*,x2*,...,x
7、n*)唱（D+盞也-兀；）+…+養（l：）耍巩曲）+耍0（*2）+…+名巩心）oxiox2oxn例如：£(X1+X2)=£(X1)+e(X2)£(Xi*x2)=lxje(x2)+lx2l£(x>)£(Xi/x2)={lxjE(x2)+lx2l£(Xi)}/lx2l2第二章代数插值通过一些实验所得的离散点找到函数的一个满足精度要求且便于计算的近似表达式（多项式）。n+1个互异的节点可以唯一确定一个n次多项式。填空1•差商与微商的关系广+1）（点）/［x,x0,x1<-,x/J=———-（n+1）!例1：/（兀）=兀5_工+1,试求其如下差商：Z'r>^01夕2”3^4乍2"3"4
8、^5>^61例2：'已H个也阶基商和一个五总差語，'用霜义'反上另一个四阶差商。一般地，称心2阶差商的一阶差商为k阶差商：rr“】_/［工0，旺，・・，耳_］］一/［曲，工2，・・，孔］工（）—JCk为允。关于点代,兀1,…,七的k阶差商。2・p54页证明题：考具体的例子。N次多项式插值函数为其本身。3•分段线性插值公式的记忆二次拉格朗日插值多项式的三种表示形式:z=oXj-xz"j紧凑格式基函数表示JL兀o,兀1昇，兀左一1，兀*」—表示式厶⑴述—'误差估计式rnR3=fU）-L3=［丄焉©+心），（n+l）!其中，3n+i(x)=(X・Xo)(X・Xi)…(x・xj分段线性
9、插值函数：5（工）=（xg[x0,xjXg[兀1,x2]Sn(x)9Xe[x^9xn]v—vy—y在区间［曲_1，曲止的线性函数为Si（x）=yi］兀+几-,心1,2,…皿兀1一心心一4•由三次样条差值多项式的性质（二阶导数连续）求未知常数。大题1・给出几个点，构造插值多项式（newton直接列表求），并求出在某点的函数值和导数值。important:newton插值多项式：N”（兀）=/（兀（））+（工一心）/[兀°,x{]+（x-x0）（x-x1）/[x0,x1,x2]+--+（x-x0）（x-x1）-（x-xM_1）/[x0,x1,-*,xJ2•给出三个点和一个导数值，构
10、造差值多项式再求出误差项。（P39页，例题2・7）第三章最佳平方逼近1•相当于已知两个未知量,两个方程的求解（注意基函数的取法）。important:连续函数:・（％%）（0,00）…（mS（久0）（0,0）…（0“,0）••••••••••••C】••=（/,0）••（00%）（久久）…WE■■••解此方程组，就可以得到皿*,刃*，…，纽*,也就得到了几切的最佳平方逼近：P；（兀）=C；0o（X）+C；0]（兀）+…+cn（pn（X）罔畝总:1=0久（兀o）0（兀0）…久（兀（jJo'A=00（旺）•••0】（心）•••…久（心）••••••c=Cl•••Y=Jl•••0（f
11、）…久（兀丄“i+Im+1法方程组表示为：atac=atymmmmn误差：尸二丄疔二乞卜:-沙二立/也”才卜立立；转a）一川2i=<）1=0<=0<=0j=0第四章数值微积分采用近似解法或数值解法的思想是先找出被积函数几0的近似函数P（x），gp：/（x）«p（x）,则可以得到：p（xWx«P（x）rfx填空1.Newton-cotes型系数之和：（b・a）或者12.简单梯形公式、simpson公式的记忆important:梯形求积公式及其误差为:£f(x)dx«(a)+f(b)]砒]=-菩
