数值分析重点

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1、数值分析重点第一章误差分析近似数误差大小的度量方法：绝对误差/相对误差侑效数字1、有效数字的判断定义：从末尾到第一个非零数字之间的所有数字的个数。几个重点结论：(1)、设数X的近似值可以表示为x*=±0心02…a”x10,z,其中m是整数,“(T2,・・・m)是0到9中的一个数字，而J工0・如果其绝对误差限为y_y*

2、nW-/，'"2(不超过其末尾数的半个单位)则称近似数兀*具有n位有效数字。(2)、相对误差与有效数字的关系(误差：精确值与近似值的差值)X*=±O.axa2•••X1Ow=a1M2ay-anxtfn~i>a1xlQm~1x-x*W丄xlOw-w2得到相对误差限I

3、*

4、丄xlO〃i[erM=乂二<2r=丄x10如)截断误差(方法误差)和舍入误差(计算误差)2•误差的分类：模型误差、观测误差、3•误差算法设计应注意的问题:(1)、避免两个相近的数相减考虑能否改变一下算法(2)、防止大数“吃掉”小数当一组数进行相加运算时，应按照由小到大的次序进行相加。(3入绝对值太小的数不宜作除数考虑能否改变一下算法(4)、注意简化计算程序，减少计算次数(5)、选用数值稳定性好的算法4、误差的传播：Taylor展开式：f(X),x2,・・・，xj在(X】*,血*,・・・，xn*)的展开:e(y)=f(xi,x2x)f(xi*,x?*,…，xn*)N鲁⑴-心釜g-x

5、；)+…十薯(x”—x：)=签心)+签e(X2)+…+菁e(x”)丰=尤)(k=i,2,-••,/?)^xk例如：£(X1+X2)=£(X1)+£(x2)工。—JCk为允。关于点代,兀1,…，七的k阶差商。2・p54页证明题：考具体的例子。N次多项式插值函数为其本身。3•分段线性插值公式的记忆二次拉格朗日插值多项式的三种表示形式:2I7=0X-Xjyj2n；=02L2(x)=^yjlj(x)；=o紧凑格式基函数表示£(Xi*x2)=lxje(x2)+lx2l£(x>)£(Xi/x2)={lxjE(x2)+lx2l£(Xi)}/lx2l2第二章代数插值通过一些实验所得的离散点找到函数的一个

6、满足精度要求且便于计算的近似表达式(多项式)。n+1个互异的节点可以唯一确定一个n次多项式。填空1•差商与微商的关系广+1)©/［x,x0,x1<-,x/J=———(n+1)!例1：y(x)=x5-x+l，试求其如下差商：Z'r>^01夕2”3^4夕5］*7乍2"3"4^5>^61例2：'已H个也阶基商和一个五总差語，'用霜义'反上另一个四阶差商。一般地，称心2阶差商的一阶差商为k阶差商：rr“】_/［工0，旺，・・，耳_］］一/［曲，工2，・・，孔］JL兀o,兀1昇，兀《-1，兀*」—表示式j^i(x_兀y)^(xy)・・(n+1)误差估计式(小.Rn(x)=fM-Ln(x)=-―%心

7、)，§w@上)(n+l)!其中，3n+i(x)=(X・Xo)(X・Xi)…(x・xj分段线性插值函数：S(x)=

8、0）（x-x1）-（x-xM_1）/[x0,x1,-*,xJ2•给出三个点和一个导数值，构造差值多项式再求出误差项。（P39页，例题2・7）第三章最佳平方逼近1•相当于已知两个未知量,两个方程的求解（注意基函数的取法）。important:连续函数:■（久5）（0,00）…（MS)(久0)…(久,0)••••••••••••C】••—(/,0)••（M.）（久久）…（映）■■••■(/,0丄解此方程组，就可以得到皿*,刃*，…，纽*,也就得到了几切的最佳平方逼近：P；（兀）=C；%（兀）+C；%（%）+•••+Cn（pn（X）鲁鲁为/=

9、/—p：

10、；=（/—p：j）=

11、

12、/t—£c；（几

13、0）=（f,门7p；,门罔畝总:1=0A=00（兀。）0（）（兀1）•••01(兀(J…0】(心)…••••••久（兀（j久（心）•••c=Cl•••Y=Jo'Jl•••_久（匚）0(f)…/n+Un+1法方程组表示为：atac=atymmmmn误差：F=£6a£(y：_x)2=£[/g)_y]2=£[£c；%a)_”]2i=01=0<=0<=0j=0第四章数值微积分采用近似解法或数值解法的思想是先找出被积函数于（0的近似函数p（x