【精品】数值分析重点公式

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1、第一章非线性方程和方程组的数值解法~[)—CI1)二分法的基本原理，误差：X—4<—2)迭代法收敛阶:lim^=c^O,若”=1则要求0vcvlf

2、引"3)单点迭代收敛定理：定理一：若当xe[a,b]时，(p(x)E[a,b]且0(x)5/<1,/x^[a,b],则迭代格式收敛于唯一的根；定理二:设卩(兀)满足:①xe[a,b]时，(p(x)e[a,b]t®Vxj,x2w[a,b],有

3、(p(x})-(p(x2)

4、,0

5、四：假设0(兀)在根Q的邻域内充分可导，则迭代格式兀+1=0(兀)是P阶收敛的O0刀(a)=0=1,…,P—1,0P)(a)H0(Taylor展开证明)4)Newton迭代法：兀•+]=兀-丿上丄，平方收敛八兀)5)Newton迭代法收敛定理：设/⑴在有根区间[d,b]上有二阶导数，口满足：©:/W(^)<0；②：f(x)^0,xe[a,b]；③：/”不变号,xe[a,b]/(兀)②:初值x0e[a,h]使得/"（x）/（x）＜0；则Newton迭代法收敛于根a。6）多点迭代法：x.+I工/（兀）二/（兀）兀!xJ/（兀）-/（兀一

6、）/（x,）-/U,-i）/（^_i）-/（A）兀

7、厂和收敛阶：p=27）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改①：己知根的重数r,兀+i=兀_厂"兀）（平方收敛）八兀）②：未知根的重数：兀+[=X）一讥兀），讥x）=/⑴，a为/（兀）的重根，则Q为u（x）的单w（X,）f（x）根。XiXi+2~Xi+8）迭代加速收敛方法:Xr+1Xi+2~2兀+

8、+Xixi+i=（p（xj当不动点迭代函数0（兀）在G的某个邻域内具有二阶导数,兀+2=0（旺+1）9)确定根的重数：当Newton迭代法收敛较慢时，表明方程有重根r0XjXj+2—无了+]J不+1忑+2一2兀+1+X,xi+2-xi+lxi+2-10)拟

9、Newton法3―加十)0,且卜11=0的充要条件是x=0；②:齐次性:

10、

11、ax

12、

13、=

14、a

15、

16、

17、^

18、®：三角不等式:

19、

20、x4-y

21、

22、

23、<

24、

25、x

26、

27、+

28、

29、y1范数：

30、

31、班空低/=!“12范数：

32、

33、班=（刃兀「）2z=I00范数：=max00!

34、卜

35、

36、/,=（£

37、兀I"）"/=!2）矩阵范数：①：非负性:

38、

39、A

40、

41、>0,且

42、

43、A

44、

45、=0的充要条件是A=0；②:齐次性:

46、

47、aA

48、

49、=

50、a

51、

52、

53、A

54、

55、③:三角不等式:

56、

57、a+b

58、

59、<

60、

61、a

62、

63、+

64、

65、b④：乘法不等式：AB

66、

67、州1=呷竽工忆，列和最人00范数:114ZKI，行和最大亠";=12范数：p

68、

69、2=s!p（AhA）,其中巴警冈&为的特征值，p（A）＜

70、

71、A

72、

73、3）Gauss消元法（上三角阵）：M«-n

74、3；3Gauss-Jordan消元法（对角阵）：M«—/?3；2列选主元消元法：在消元Z前进行行变换，将该列最大元素换置对角线主元位置；（可用于求逆矩阵）全选主元消元法:全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至其处于对角线主元位置；4）三角分解法：©:Doolittle分解法：A=LU,L单位下三角阵，U上三角阵②：Crout分解法：A=LU,L下三角阵，U单位上三角阵③：Cholesky分解法：A对称正定，A=Li!,L为单位下三角阵④：改进的Cholesky分解法：A对称正定，A=LDl!,L为单位下三角阵，D为对角阵⑤：追赶法：Crout分解法解三对角方程5）矩阵的条件数2加

75、04）=

76、

77、卿犷卜1,谱条件数：c^2（A）=

78、

79、A

80、

81、2l-Cond(A)6）如果

82、

83、B

84、

85、vl,则I+B为非奇异阵,叫（/+B尸卜匚丄习7）迭代法基本原理:①：迭代法：x/+,=Bxl+K②：p(B)00③：至少存在一种矩阵的从属范数，使

86、

87、b

88、

89、