数值分析重点公式.docx

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1、第一章非线性方程和方程组的数值解法~ba1）二分法的基本原理，误差：x2k12）迭代法收敛阶：limi1c0，若p1则要求0c1pii3）单点迭代收敛定理：定理一：若当xa,b时，(x)a,b且'，，则迭代格式收敛(x)l1xa,b于唯一的根；定理二：设(x)满足：①xa,b时，(x)a,b，②x1,x2a,b,有(x1)(x2)lx1x2,0l1则对任意初值x0a,b迭代收敛，且：1xi1xixi1llix1x0xi1l定理三：设(x)在的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设(x)在根的邻域内充分可导，则迭代

2、格式xi1(xi)是P阶收敛的(j)()0,j1,L,P1,(P)()0（Taylor展开证明）4）Newton迭代法：xixif(xi)1，平方收敛f'(xi)5）Newton迭代法收敛定理：设f(x)在有根区间a,b上有二阶导数，且满足：①：f(a)f(b)0；②：f'(x)0,xa,b；③：f''不变号,xa,b④：初值x0a,b使得f''(x)f(x)0；则Newton迭代法收敛于根。6）多点迭代法：xi1xif(xi)f(xi)f(xi1)f(xi)f(xi1)f(xi)f(xi1)xi1f(xi1)f(xi)xixixi1收敛阶：P15

3、27）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改①：已知根的重数r，xi1xirf(xi)（平方收敛）f'(xi)②：未知根的重数：xi1xiu(xi),u(x)f(x)，为f(x)的重根，则为u(x)的单u'(xi)f'(x)根。8）迭代加速收敛方法：xi1xixi2xi21xi22xixi1xi1(xi)当不动点迭代函数(x)在的某个邻域内具有二阶导数，xi2(xi1)'()L1,0平方收敛9）确定根的重数：当Newton迭代法收敛较慢时，表明方程有重根xixi2xi211xi1r2xi1xixi2xi1xi2xi1x

4、i210）拟Newton法xi1xiAi1F(xi)Ai1(xi1xi)F(xi1)F(xi)若Ai非奇异，则HiAi1Ai1AiAixi1xiHiF(xi)Hi1(F(xi1)F(xi))(xi1xi)Hi1HiHif1f1f1x1ix2iLxnif2f2f2F'(xi)x1ix2iL其中AixniMMMfnfnfnx1ix2iLxni11）秩1拟Newton法：xi1xiAi1F(xi)Ai1Ai(yiAiri)iT,其中rixi1xi,yiF(xi1)F(xi)(r)ri(ri)TBroyden秩1方法xi1xiHiF(xi)Hi1Hi(riH

5、iyi)(ri)THi(ri)THiyi第二章线性代数方程组数值解法1）向量范数：①：非负性：x0，且x0的充要条件是x0；②：齐次性：xx③：三角不等式：xyxyn1范数：x2范数：x1xii1n122(xi)2i1范数：xmaxxi1inn1pp范数：xp(xi)pi12）矩阵范数：①：非负性：A0，且A0的充要条件是A0；②：齐次性：AA③：三角不等式：ABAB④：乘法不等式：ABAB1nn22F范数：AFaiji1j1n1范数：A1maxaij，列和最大1jni1n范数：A1maxaij，行和最大1inj12范数：A2(AHA)，其中(AH

6、A)maxi，i为AHA的特征值，(A)A1in3）Gauss消元法（上三角阵）：M1n3；31Gauss-Jordan消元法（对角阵）：Mn3；2列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对角线主元位置；（可用于求逆矩阵）全选主元消元法：全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至其处于对角线主元位置；4）三角分解法：①：Doolittle分解法：A=LU，L单位下三角阵，U上三角阵②：Crout分解法：A=LU，L下三角阵，U单位上三角阵③：Cholesky分解法：A对称正定，ALLT，L为单位下三角阵④：改进的Cholesky分解法

7、：A对称正定，ALDLT，L为单位下三角阵，D为对角阵⑤：追赶法：Crout分解法解三对角方程5）矩阵的条件数cond(A)AA11，谱条件数：cond2(A)A2A12ACond(A)xAxA1Cond(A)A6）如果B1，则IB为非奇异阵，且(IB)111B7）迭代法基本原理：①：迭代法：xi1BxiK②：(B)1(limBi0，迭代格式收敛)i③：至少存在一种矩阵的从属范数，使B18）Jacobi迭代：ALDUxi1(ID1A)xiD1b9）Gauss-Seidel迭代：xi1(LD)1Uxi(LD)1b10）超松弛迭代法xi1xir

8、i111）二次函数的一维搜索：x2x11P112）最速下降法：选择方向Z0gradf(x0)r0bAx0进行