数值分析重点公式.pdf

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1、第一章非线性方程和方程组的数值解法~ba−1）二分法的基本原理，误差：x−<αk+12εi+12）迭代法收敛阶：lim=≠c0，若p=1则要求01

2、理三：设ϕ()x在α的邻域内具有连续的一阶导数，且ϕα()1<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设ϕ()x在根α的邻域内充分可导，则迭代格式x=ϕ()x是P阶收敛的ii+1()j()PÙϕα()0,1,,1,==jP"−ϕα()0≠（Taylor展开证明）f()xi4）Newton迭代法：xx=−，平方收敛ii+1'f()xi5）Newton迭代法收敛定理：设f()x在有根区间[ab,]上有二阶导数，且满足：①：fafb()()0<；'②：f()0,xxa≠∈[,b]；''③：f不变号,,xab∈[]''④：初值x∈[ab,]使得fxfx()(

3、)0<；0则Newton迭代法收敛于根α。fx()fx()fx()iii−16）多点迭代法：x=−xx=+xii+−11iifx()()−fxfx()()−−fxfx()()fxii−1ii−−11iixx−ii−115+收敛阶：P=27）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改f()xi①：已知根的重数r，xxr=−（平方收敛）ii+1'f()xiux()f()xiux()②：未知根的重数：xx=−,()ux=，α为f()x的重根，则α为的单ii+1''ux()fx()i根。8）迭代加速收敛方法：2xx−xii++2

4、1ixi+1=x−+2xxii++21ixx=ϕ()当不动点迭代函数ϕ()x在α的某个邻域内具有二阶导数，ii+1xx=ϕ()ii++21'ϕα()=≠L1,0平方收敛9）确定根的重数：当Newton迭代法收敛较慢时，表明方程有重根2xx−x1xii++21ii+1r≈−x−+−2xxxxxx−ii++21iiii++++2121i10）拟Newton法ii+−11i⎧xxA=−F()xi⎪ii++11ii−1⎨AxxFx()−=()−FxA()若非奇异，则HA=ii+1ii⎪AAA=+Δ⎩iii+1ii+1i⎧xxH=−F()xi⎪ii++11i

5、i⎨HFxFx(()())(−=−xx)i+1⎪HHH=+Δ⎩iii+1⎡∂∂fff∂⎤111"⎢iii⎥∂∂xxx∂⎢12n⎥⎢∂f∂∂ff⎥222'i⎢ii"i⎥其中AFxi==()⎢∂∂x12xx∂n⎥⎢###⎥⎢⎥∂f∂∂ff⎢nn"n⎥⎢∂∂ii∂i⎥xxx⎣12n⎦11）秩1拟Newton法：ii+−11i⎧xxA=−F()xi⎪iT其中iii++11ii(i)⎨()r,,rx=−=xyFx()−Fxii⎪AAyA=+−()rii+1iiTi⎩()rrBroyden秩1方法ii+1i⎧xxH=−F()xi⎪⎨()rHiTiii⎪HHrH

6、=+−()yii+1iiTi()rHy⎩i第二章线性代数方程组数值解法1）向量范数：①：非负性：x>0，且x=0的充要条件是x=0；②：齐次性：ααx=x③：三角不等式：x+≤+yxyn1范数：x1=∑xii=1n122范数：xx=()∑22ii=1∞范数：x=maxx∞i1≤≤inn1ppp范数：xxp=()∑ii=12）矩阵范数：①：非负性：A>0，且A=0的充要条件是A=0；②：齐次性：ααAA=③：三角不等式：ABAB+≤+④：乘法不等式：AB≤AB1⎛⎞nn22F范数：AaF=⎜⎟∑∑ij⎝⎠ij==11n1范数：A1=max∑aij，列

7、和最大1≤≤jni=1n∞范数：A1=max∑aij，行和最大1≤≤inj=1HHH2范数：A=ρ()AA，其中ρ()mAA=axλ，λ为AA的特征值，ρ()AA≤2ii1≤≤in133）Gauss消元法（上三角阵）：M≈n；313Gauss-Jordan消元法（对角阵）：M≈n；2列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对角线主元位置；（可用于求逆矩阵）全选主元消元法：全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至其处于对角线主元位置；4）三角分解法：①：Doolittle分解法：A=LU，L单位下三角阵，U上三角阵②：Crout分解

8、法：A=LU，L下三角阵，U单位上三角阵T③：Cholesky分解法：A对称正定，A=LL，L为单位下三角阵T④：改进的C