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1、数值分析，第一章1，相对误差和绝对误差e*=x*-x;er*=估计值2，误差限和相对误差限ε*≥εr*=3，有效数字官方定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零有效数字共有n位，就说x*有n位有效数字。表示为：x*=±10m×（a1+a2×10-1+a3×10-2+…+an×10-（n-1））=±a1.a2a3…an。其中ai为0至9中之一，a1不为0，m，n都是整数。公式：ε*≤相对误差限公式x*具有n为有效数字，εr*≤×10-（n-1）。若εr*≤×10-（n-1）
2、，则x*至少具有n为有效数字。4，病态问题的条件数，相对误差比值x的扰动Δx=x-x*，误差为，函数值f（x*）的相对误差=相对误差比值为：≈=Cp（也称为条件数）第二章：插值法1，多项式插值P（x）为n阶多项式，P（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，ai为实数。解法：a解方程组：Aa=y，其中A=，a=，y=2，拉格朗日插值【1】线性插值L1=yklk+yk+1lk+1插值基函数lk=，lk+1=【2】抛物线插值L2=yklk+yk+1lk+1+yk+2lk+2插值基函数lk=，lk+1
3、=，lk+2=【1】N次插值多项式（通解）Ln=y0l0+y1l1+y2l2+…+ynlnlk=设ωn+1（x）=有ω`n+1（xk）=有Ln（x）=余项公式N次插值多项式的余项形式Rn=f（x）-Ln（x）=ωn+1（x）=K(x)ωn+1（x）,(a,b)的位置未知，但有截断误差限：,Mn+1=1，均差（差商）一阶均差；f[x0，xk]=二阶均差：f[x0,，x1，xk]=高阶均差：f[x0,，x1，…，xk]=性质：1，k阶均差可表示为函数值f（x0），f（x1），…，f（xn）的线性组合2，
4、对称性，与节点次序无关3，【前后项】f[x0,，x1，…，xk]=4，※n阶均差与导数的关系：f[x0,，x1，…，xk]=，ξ∈[a，b]。1，牛顿插值多项式逐次生成的插值多项式Pn（x）=a0+a1（x-x0）+a2（x-x0）（x-x1）+…+an（x-x0）…（x-xn-1）a0=f（x0），a1=f[x0，x1]，a2=f[x0，x1，x2]，…，an=f[x0，x1，…，xn]【余项】Rn=f[x，x0，x1，…，xn]ωn+1（x）估计截断误差限≤2，差分等距离节点xk=x0+kh，k
5、=0，1，…，n；fk=f（xk）xk处的一阶向前差分：Δfk=fk-+1-fk，xk处的二阶向前差分：Δ2fk=Δfk-+1-Δfk；xk处的n阶差分：Δnfk=Δn-1fk-+1-Δn-1fk【差分与差商的关系】f[xk,xk+1]==，一般的f[xk,xk+1,…,xk+m]=【差分与导数的关系】=hmf（m）（ξ）差分表（▽fk=fk-fk-1）差分多项式：Pn（x0+th）=f0+tΔf0+Δ2f0+…+Δnf0前插余项Rn=hn+1f（n+1）（ξ）截断误差：Rn（x）≤ωn+1（x）1
6、，埃米尔特插值要求导数值也相等一个均差的性质：【n阶差商】f[x0,，x0，…，x0]=重要情况：n+1个节点a≤x0＜x1＜x2…＜xn≤b，满足f（xi）=fi，f’（xi）=f’I，求不超过2n+1次的多项式H2n+1（xi）=fi，H’2n+1（xi）=f’i，i=0，1，2，…n。插值基函数αj（x）、βj（x）都是2n+1次多项式，j=0，1，…，n。满足αj（xk）=δjk;α’j（xk）=δjkβj（x）=δjk;β’j（x）=δjk(j,k=0,1,…,n)则H2n+1（x）=第三
7、章公式：1，伯恩斯多项式Bn=;pk=Cnkxk(1-x)n-k2，函数范数===3，斯密特正交多项式：=xi-4，其他多项式：(1)勒让德多项式，要求区间[-1，1]，权函数为1，有P0=1，P1=x，P2=，P3=；递推关系：（n+1）Pn-1=（2n+1）xPn-nPn-1(2)切比雪夫多项式：要求区间[-1，1]权函数为，有T0=1，T1=x，T2=，T3=；递推关系：Tn-1=2xTn-Tn-1注意：（Pi，Pi）=；（Ti，Ti）=（i不等于0）或π（i等于0）（Tn=cos(narcc
8、osx)）5，最佳平方逼近Ga=dS*(x)=a0φ0+a2φ2+…+anφnG={（（x），（x））}（j，k=0，1，2，…）d={（f，（x））}T（j=0，1，2，···）特殊：为勒让德多项式时，ak=dx6，内积公式连续函数f（x），g（x）在[a,b]上的带权内积：dx；离散点m个xi，f(xi)，g（xi）的带权内积：f(xi)g（xi）。7，曲线拟合G={（（x），（x））}，（（x），（x））=（xi）（xi）d={（f，（x））}T，（f，（x））
