数值分析公式大全

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1、数值分析，第一章1，相对误差和绝对误差e*=x*-x;er*=(x*-x)x估计值(x*-x)x*2，误差限和相对误差限ε*≥x*-xεr*=ε*x*3，有效数字官方定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零有效数字共有n位，就说x*有n位有效数字。表示为：x*=±10m×（a1+a2×10-1+a3×10-2+…+an×10-（n-1））=±a1.a2a3…an。其中ai为0至9中之一，a1不为0，m，n都是整数。公式：ε*=x-x*≤12×10m-n+1相对误差限公式x

2、*具有n为有效数字，εr*≤12a1×10-（n-1）。若εr*≤12（a1+1）×10-（n-1），则x*至少具有n为有效数字。4，病态问题的条件数，相对误差比值x的扰动Δx=x-x*，误差为Δxx，函数值f（x*）的相对误差=f（x）-f（x*）f（x）相对误差比值为：f（x）-f（x*）f（x）/Δxx≈xf‘（x）f（x）=Cp（也称为条件数）第二章：插值法1，多项式插值P（x）为n阶多项式，P（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，ai为实数。解法：a解方程组：Aa=y，其中A=1x

3、0⋯x0n1x1⋯x1n⋮1⋮xn⋱⋯⋮xnn，a=a0a1⋮an，y=y0y1⋮yn2，拉格朗日插值【1】线性插值L1=yklk+yk+1lk+1插值基函数lk=x-xk+1xk-xk+1，lk+1=x-xkxk+1-xk【2】抛物线插值L2=yklk+yk+1lk+1+yk+2lk+2插值基函数lk=(x-xk+1)(x-xk+2)(xk-xk+1)(xk-xk+2)，lk+1=(x-xk)(x-xk+2)(xk+1-xk)(xk+1-xk+2)，lk+2=(x-xk)(x-xk+1)(xk+2

4、-xk)(xk+2-xk+1)【3】N次插值多项式（通解）Ln=y0l0+y1l1+y2l2+…+ynlnlk=x-x0…x-xk-1x-xk+1…(x-xn)(xk-x0)…(xk-xk-1)(xk-xk+1)…(xk-xn)设ωn+1（x）=x-x0…x-xk-1x-xk+1…(x-xn)有ω`n+1（xk）=(xk-x0)…(xk-xk-1)(xk-xk+1)…(xk-xn)有Ln（x）=k=0nykωn+1（x）(x-xk)ω'n+1（xk）余项公式N次插值多项式的余项形式Rn=f（x）-L

5、n（x）=fn+1(ξ)n+1!ωn+1（x）=K(x)ωn+1（x）,ξ∈(a,b)ξ的位置未知，但有截断误差限：Rn(x)≤Mn+1n+1!ωn+1(x),Mn+1=maxa≤x≤bfn+1(x)1，均差（差商）一阶均差；f[x0，xk]=fxk-f(x0)xk-x0二阶均差：f[x0,，x1，xk]=f[x0，x1]-f[x0，xk]xk-x1高阶均差：f[x0,，x1，…，xk]=f[x0，x1，…，xk-1]-f[x0，…，xk-2，xk]xk-xk-1性质：1，k阶均差可表示为函数值f（

6、x0），f（x1），…，f（xn）的线性组合2，对称性，与节点次序无关3，【前后项】f[x0,，x1，…，xk]=f[x1，…，xk]-f[x0，…，xk-1]xk-x04，※n阶均差与导数的关系：f[x0,，x1，…，xk]=fn(ξ)n!，ξ∈[a，b]。2，牛顿插值多项式逐次生成的插值多项式Pn（x）=a0+a1（x-x0）+a2（x-x0）（x-x1）+…+an（x-x0）…（x-xn-1）a0=f（x0），a1=f[x0，x1]，a2=f[x0，x1，x2]，…，an=f[x0，x1，…，

7、xn]【余项】Rn=f[x，x0，x1，…，xn]ωn+1（x）估计截断误差限Rn(x)≤Mn+1n+1!ωn+1(x)1，差分等距离节点xk=x0+kh，k=0，1，…，n；fk=f（xk）xk处的一阶向前差分：Δfk=fk-+1-fk，xk处的二阶向前差分：Δ2fk=Δfk-+1-Δfk；xk处的n阶差分：Δnfk=Δn-1fk-+1-Δn-1fk【差分与差商的关系】f[xk,xk+1]=fxk+1-f(xk)xk+1-xk=Δfkh，一般的f[xk,xk+1,…,xk+m]=Δmfkm!hm【

8、差分与导数的关系】Δmfk=hmf（m）（ξ）差分表（▽fk=fk-fk-1）差分多项式：Pn（x0+th）=f0+tΔf0+t(t-1)2!Δ2f0+…+tt-1…(t-n+1)n!Δnf0前插余项Rn=tt-1…(t-n)（n+1）!hn+1f（n+1）（ξ）截断误差：Rn（x）≤Mn+1n+1!ωn+1（x）2，埃米尔特插值要求导数值也相等一个均差的性质：【n阶差商】f[x0,，x0，…，x0]=1n!f(n)(x0)重要情况：n+1个节点a≤x0＜x1＜x2…