数值分析习题

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1、第一章绪论习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。1若误差限为,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）2具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）3已知，是经过四舍五入后得到的近似值，问，有几位有效数字？（有效数字的计算）4设，的相对误差为，求的误差和相对误差？（误差的计算）5测得某圆柱体高度的值为，底面半径的值为，已知，，求圆柱体体积的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）6设的相对误差为,求的相对误差。（函数误差的计算）7计算球的体积，为了使体积

2、的相对误差限为，问度量半径时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）8设，求证：（1）（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）11第二章插值法习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。1已知，求的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）2已知，用线性插值求的近似值。（拉格朗日线性插值）3若为互异节点，且有试证明。（拉格朗日插值基函数的性质）4已知，用抛物线插值计算的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值

3、）5用余弦函数在，，三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式,并近似计算及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗日二次插值）6已知函数值，求函数的四阶均差和二阶均差。（均差的计算）7设求之值，其中，而节点互异。（均差的计算）8如下函数值表012419233建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）9求一个次数小于等于三次多项式，满足如下插值条件：，，，。（插值多项式的构造）1110构造一个三次多项式，使它满足条件（埃尔米特插值）。11设。(1)试求在上的三次埃尔米特插值多项式，使得

4、，以升幂形式给出。(2)写出余项的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。12若，试证明：（插值余项的应用）13设求使；又设，则估计余项的大小。（插值误差的估计）11第三章函数逼近习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。1设，求于上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）2令，且设,求使得为于上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）3证明：切比雪夫多项式序列在区间上带权正交。（正交多项式的证明）4求矛盾方程组：的最小二乘解。（最小二乘法）5已知一组试验数据22.53455.544.5688.

5、59试用直线拟合这组数据.(计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性逼近）6用最小二乘原理求一个形如的经验公式,使与下列数据相拟合。19253138441932.34973.397.8（最小二乘二次逼近）11第四章数值积分习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。1给定求积公式试确定使它的代数精度尽可能高。（代数精度的应用和计算）2求积公式，试确定系数,及，使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算）3数值积分公

6、式，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征）4如果，证明用梯形公式计算积分所得到的结果比准确值大，并说明其几何意义。（梯形求积）5用的复化梯形公式计算积分，并估计误差。（复化梯形求积）6设,则用复化辛甫生公式计算，若有常数使，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。（复化辛甫生公式）7已知高斯求积公式将区间[0,1]二等分，用复化高斯求积法求定积分的近似值。（高斯公式）8试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否

7、为高斯型的？（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）9设是[0,1]区间上带权的最高次幂项系数为1的正交多项式系（1）求。（2）构造如下的高斯型求积公式。（高斯求积）11第五章线性方程组的直接解法习题主要考察点：高斯消去法，LU分解法，平方根法和追赶法解线性方程组。1用高斯消去法解方程组。（高斯消去法的应用）2用LU分解法求解线性方程组。（LU分解法的应用）3设，求A的LU分解。（LU分解法的应用）4试用“追赶法”解方程组，其中：，（追赶法的应用）5设，求（条件数的计算）6求证：，（范数的性质）7求证：。（范数的性

8、质）8对矩阵，求，，和。（范数，条件数的计算）9方程组，其中，是对称的且非奇异。设有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明：，其中和分别为的按模最大和最小的特征值。（范数的性质，误差的分析）10证明：若为严格对角占优矩阵，则非奇异。（严格对角占优矩阵的性质）11第六章线性方程组的迭代解法习题主要考察点：雅可比、高斯-塞德尔迭代法解线性方程组，及其收敛性讨论。1