2、(x)<—"―10-2=—10-2.(Th)2x918少10」-2x0.25=10-3/⑷对于/(X)的误差和相对误差.IE(/)HVlTr-71^1=,~yj-x+yj-aIEr(/)i
3、+COSX)1+COSX拉格朗日插值公式(即公式(1))Pn⑴二工MO)/=0插值基函数(因子)可简洁表示为(兀_形)二0“(兀)a~xj)(兀_£)a(石)其中:^„(x)=Yl(x-x7),j=0©:(旺)=n(y)•j=0例1n=l时,线性插值公式例2n=2时,抛物插值公式PM=yQ(兀州)卩2(尤)=)‘0X(尢_站)(兀_七)(勺一小)(勺_兀2)(兀一勺)(兀72)十)1X一(山-X0)Ul_兀2)+2(兀2_%0)(兀2_兀1)牛顿(Newton)插值公式由差商的引入,知(1)点
4、、Xg,的一次插值多项式为p1(x)=/(^0)+cI(x-x0)其中①"一门")=/[牝,“]=>PiM=./*(兀0)+/'[心,兀
5、](兀一比)“一勺(2)过点x0,X
6、,x2的二次插值多项式为PlW=P(兀)+C2(X-勺)(x一X])其中/(兀2)一/(“)于01)一/(兀0)兀2—兀]兀]兀0兀2-兀0=/[x0,Xj,X2]=>P2=PlM+/Vo,ATj,J(x-xo)(x-X,)f(无0)+f[xQ,xj(x-xo)+f[xQ,无],无2](兀一Xo)(x一Xj)重点是分段插
7、值:例题:1.利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式(结果要简化):(1)xi-101/21-3-1/201(2)-101/21-3/2001/2解⑵:方法一.由Lagrange插值公式厶3(无)=九叫)(兀)十人叫(无)+人(兀)+fs/W-fh(x)max(x-ih)(x-(i+l)h)3(兀)可得:L3(x)=x2・hG0/+i)〃(x-1/2)方法二.令L3(x)=x(x-1/2)(Ax+B)31由L3(-l)=--,厶⑴二一,定A,B(称之为待定系数法)口2215.
8、设/(x)=x2,求门兀)在区间[0,1]上的分段线性插值函数fh(x),并估计误差,取等距节点,且/?=1/10.解/(x)=x2,xi=ih,z=0,1,•••,10,力=%)I殳兀9、的法方程组设的,2+1维子空间7^=span{l,x,x2…,x"},其中1,兀,兀2…,*是厶2^0]的线性无关多项式系.对X/fgI?[a,b],设其最佳逼近多项式0*可表示为:=Za]xl7=0由(/-0,0)=0,gp“=>0,j=0(1)777=0即£(*,0)a;=(/,*),i=0(l)n(*2)J=0其中(x,x)=Jx'-xjdx=Jxijdx,(几”)=Jf(x)-xdx称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组(或正规方程组).由{?};Lo的线性无关性’可证明G正定'即上述法
10、方程组的解存在且唯一・11、求f(X)=COS7TX,XG[0,1]的一次和二次最佳平方逼近多项式.解:设=,P;(x)=%+b、x+bqX2分别为/O)的一次、二次最佳平方逼近多项式。内积(/,g)=”3・g(x)必计算如下内积:(1,1)=1,(1,兀)=%,(1,/)=%(X,X)=,◎,,)=%,(汽十)=%(1,小0,(兀,/)二_務2,(凡小-%2建立法方程组:于是斤(兀)。0+严=0扫+(%)©=_%12247171%+(%)久+~^2=°,得:12ao=—7124,a=7713