数值分析考试总结

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1、第一章1误差相对误差和绝对误差得概念例题:当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时,一般要经历哪几个阶段?在哪些阶段将有哪些误差产生?答:实际问题-数学模型-数值方法-计算结果在这个过程中存在一下几种误差:建立数学模型过程中产生:模型误差参数误差选用数值方法产生:截断误差计算过程产生:舍入误差传播误差6．设关于精确数有3位有效数字，估计的相对误差.对于，估计对于的误差和相对误差.解的相对误差：由于.,.（）对于的误差和相对误差.==.□2有效数字基本原则:1两个很接近的数字不做减法:2:不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)例题:4．改变下列表达式使计算结果

2、比较精确：（1）（2）（3）.解(1).(2).(3).□第二章拉格朗日插值公式（即公式（1））插值基函数（因子）可简洁表示为其中:.例1n=1时，线性插值公式，例2n=2时，抛物插值公式牛顿（Newton）插值公式由差商的引入，知（1）过点的一次插值多项式为其中（2）过点的二次插值多项式为其中重点是分段插值:例题:1.利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1）-101/21-3-1/201（2）-101/21-3/2001/2解(2)：方法一.由Lagrange插值公式可得：方法二.令由，，定A，B（称之为待定系数法）□15.

3、设，求在区间上的分段线性插值函数，并估计误差，取等距节点，且.解，，，设，则：误差估计：.□第三章最佳一致逼近:(了解)最佳平方逼近主要分两种情形：1.连续意义下在空间中讨论1.离散意义下在维欧氏空间中讨论，只要求提供的样本值1.最佳逼近多项式的法方程组设的维子空间=span,其中是的线性无关多项式系.对，设其最佳逼近多项式可表示为:由即（*2）其中称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）.由的线性无关性，可证明正定，即上述法方程组的解存在且唯一.11、求，的一次和二次最佳平方逼近多项式.解：设，分别为的一次、二次最佳平方逼近多项式。内积计算如下内积

4、：,,,,,,建立法方程组：(1)，得：，于是(2)解得：，，,于是：.□第四章1为什么要进行数值积分?常用哪些公式,方法?答:梯形复化求积公式和simpson复化求积公式.2:方法好坏的判断:代数精度l误差分析1.代数精度的概念定义若求积公式（*）对所有次数的多项式是精确的，但对次多项式不精确，则称（*）具有次代数精度。等价定义若求积公式（*）对是精确的，但对不精确，则（*）具有次代数精度。3:误差1等距剖分下的数值求积公式：公式特点：节点预先给定，均匀分布,系数待定利用插值多项式近似代替，即得插值型求积公式Newton-Cotes公式2给定节点数下的具有最佳逼

5、近性质（具有最高次代数精度）的数值求积公式：Gauss求积公式公式特点：系数和节点均待定3分段插值多项式近似代替（分段求积）复化求积公式复化求积公式通过高次求积公式提高精度的途径不行，类似函数插值分而治之：分段＋低次求积公式----------称为复化求积法两类低次（）求积公式：1.Newton－Cotes型：矩形、梯形、Simpson、Cotes公式分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式2.Gauss型：一点、两点、三点Gauss求积公式称为复化一点、两点、三点Gauss公式复化梯形公式（）复化辛甫生公式:（每个上用辛甫生公式求积），为的中点复化辛甫生公式是

6、最常用的数值求积方法。常采用其等价形式：复化柯特斯公式其中，，为的中点，，为的四等分的分点l自适应复化求积法计算时，要预先给定或步长，在实际中难以把握因为，取得太大则精度难以保证，太小则增加计算工作量.自适应复化梯形法的具有计算过程如下：步1步2步3判断？若是，则转步5；步4，转步2；步5输出.第五章1:常用方法:(1).直接解法：逐步（顺序）消去法、主元素法、矩阵分解法等；(2).迭代解法：构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解①.经典迭代法迭代法、迭代法、逐次超松弛（SOR）迭代法等；②.Krolov子空间的迭代法根据的对称性，又分为：对称正定-------共轭

7、梯度法非对称---------BICG、GMRes(最小残量法)③.解一类特定背景问题的迭代法多重网格法2:几类迭代法优缺点比较:3:迭代方法目标：求解其中，非奇异。基本思想：把线性方程组的解，化为一个迭代序列极限解关键：构造迭代序列所满足的公式：迭代格式。构造迭代格式基本步骤：1．将分裂：，其中，非奇异2．构造迭代格式其中，称之为迭代矩阵,其中，为的残余向量此时，常用的迭代方法将分裂为其中，,lJacobi迭代方法若，迭代格式①其中Jacobi迭代矩阵：①式可写为分量形式.（*1）方法（*1）或①称为Jacobi迭代方法.Gauss—Seidle迭代方法若，迭代

8、格式②其中