资源描述：
《数值分析总结》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数值分析复习提要（4）一、纲要数值积分与数值微分一章屮主耍的耍点如下：1、数值积分的提法、插值塑求积公式的导出及其余项估计2、低阶数值积分公式及其余项的估计3、数值积分的加速过程：Romberg算法与埃特金方法4、高糟度求积公式：Gauss求积公式二、要点1、若要求积分/=f,当于（x）的解析表达式未知或其解析表达式不易于计算积分值时，对以考虑用数值的方法求得它的一个近似值厂。如果已知函数/（兀）在n+1个节点上的值/（兀）,20,1,，那么可以用这些节点构造一个插值多项式Pn（x）,川壮（x）近似表示/（兀），并用厂=（代（兀）近似表示/,这时厂=（Pn（x）dx=讪（兀床=£/（旺
2、）血（兀加=£仃（旺）1*/=0/=0/=0上式就称为插值型求积公式。更一般地，如果一种求积公式可以写为：I=打（畑=厂述仃（兀）/=0就称为机械求积公式，显然，插值求枳公式就是一种机械求积公式。2、在上述的插值型求积公式屮，特别地，当给定的九+1个节点是等距的时候，构造出來的求积公式称为Newton-Cotes求积公式它的一般表达式可以写为：人心）其中C『）称为Cotes系数。特别地当n=时Newton・Cotes求积公式称为梯型求积公式，写为：T=*0_a）陆）+妙）当"=2时Newton-Cotes求积公式称为抛物求积公式（或辛甫森求积公式），写为：S=*（b—“）他）+仃（晋
3、卜他当“=4时Ncwton-Cotcs求积公式称为Cotes求积公式，写为：Q)[7/(a)+32/(xJ+12凡兀2)+32/(®)+7/⑹]其兀2，兀3力是区间be］的四等分点。3、为了估计上面求积公式的精度，引入代数精度的概念。如果一种求积公式I=i=0对于/&）是M次代数多项式时是精确成立的，但对于〃+1的代数多项式不能再精确成立那么，就称上血的求积公式貝有斤次代数精度。由概念可以百•接得到这样的结论（1）插值熨求积公式至少具有斤次代数精度。容易证明第二个结论：（2）当斤为偶数的时候插值型求积公式至少具有斤+1次代数精度。由代数精度的概念出发，再加上积分小值定理可以得到一些低阶
4、的求积公式的余项估计。4、梯型求积公式的余项估计为：R（T）=I-T=f/（§）（兀_aX兀_b）d兀=_/（d,b）“212辛甫森求积公式的余项估计为：=f—T/⑷仿）」「4!2丿180I2丿Cotes求积公式的余项估计为：945I4丿5、当用Newton-Cotes求积公式的时，当n很人时一样存在数值不稳定性。为了使用低阶求积公式，并£1•能达到较高的计算精度，可以将区间［d,b］做若干等分，在每个了区间［门,兀i］上使用低阶求积公式，这样的方法称为复化求积方法。若在子区间中用梯型求积公式就有:■»f{x）dx=f{x）dx=*（无+】一兀）"（兀）+/*+】））=Tji=Tn称
5、为复化梯型求积公式；若在子区间上用辛甫森求积公式，就有：打（x）dx二工「于&加i=L£（兀+1-X,J+4/Xj+/（兀+Ji=s”称为复化辛甫生求积公式；同理可得其它的复化求积公式。6、复化求积公式的余项估计是先估计每个子区间的误差，然后再取和。其过程是简单的。（请大家勿必会证明推导复化求积公式的余项表达式，并会熟练使用）儿个简单复化求积公式的余项估计：I-Tn=—广,（〃）/是区间［讣的等分步长Ir“韻豺切ic”=-警孔）广切由以上的误差估计式，在/（兀）较平坦、光滑（即光顺）的假设下，可以容易导岀复化求积过程的一个收敛加速算法：Romberg算法，町以表示为/+!几=工
6、（兀+
7、i-»）（f（%,）+f（x/+1））41Sn=-T2n-~TnC”諾S2”_右S”X齐鳥c”8、Romberg算法可以实现的前提是“/（x）较平坦、光滑”,如果这个条件不成立，那么Romberg算法的收敛是值得商榷的。为了解决这个问题，利用一致逼近的思想可以找到一个高精度的数值求积算法：Gauss求积方法,它可以达到最高的代数精度为2〃+1。一•般表达式可以写为：G二£&血）r=0其中旺,i=0,1,…,M是Gauss点，A.,i=0,1,…/是求积系数。9、利用一些插值方法可以求得在给定的那些节点上的微分值，这种方法称为数值微分。三、例题1＞确定下列求积公式中的待定系数，使其代数粘
8、度尽暈高，并指出求积公式所只有的代数粘度。（1）［丿（讹=码/（—力）+血/（0）+Ahf（h）解：这是n=2的Newton-Cotes求积公式，至少具有三次代数椿度。由此可以确定它的系数,取/(x)=l,/(x)=x,/(x)=x2,/(%)=x3可得以下方程组:=A-+A。+4=2hyxdx=+hAl=0(x2dx=h2Ai+h2A.=2汕丄"T13^x3dx=-h3A^+h3A}=0A}=A.=h»3如果取f(x)=x它的积分真值为I=
