数值分析总结

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1、数值分析复习提要(4)一、纲要数值积分与数值微分一章屮主耍的耍点如下:1、数值积分的提法、插值塑求积公式的导出及其余项估计2、低阶数值积分公式及其余项的估计3、数值积分的加速过程:Romberg算法与埃特金方法4、高糟度求积公式:Gauss求积公式二、要点1、若要求积分/=f,当于(x)的解析表达式未知或其解析表达式不易于计算积分值时,对以考虑用数值的方法求得它的一个近似值厂。如果已知函数/(兀)在n+1个节点上的值/(兀),20,1,,那么可以用这些节点构造一个插值多项式Pn(x),川壮(x)近似表示/(兀),并用厂=(代(兀)近似表示/,这时厂=(Pn(x)dx=讪(兀床=£/(旺

2、)血(兀加=£仃(旺)1*/=0/=0/=0上式就称为插值型求积公式。更一般地,如果一种求积公式可以写为:I=打(畑=厂述仃(兀)/=0就称为机械求积公式,显然,插值求枳公式就是一种机械求积公式。2、在上述的插值型求积公式屮,特别地,当给定的九+1个节点是等距的时候,构造出來的求积公式称为Newton-Cotes求积公式它的一般表达式可以写为:人心)其中C『)称为Cotes系数。特别地当n=时Newton・Cotes求积公式称为梯型求积公式,写为:T=*0_a)陆)+妙)当"=2时Newton-Cotes求积公式称为抛物求积公式(或辛甫森求积公式),写为:S=*(b—“)他)+仃(晋

3、卜他当“=4时Ncwton-Cotcs求积公式称为Cotes求积公式,写为:Q)[7/(a)+32/(xJ+12凡兀2)+32/(®)+7/⑹]其兀2,兀3力是区间be]的四等分点。3、为了估计上面求积公式的精度,引入代数精度的概念。如果一种求积公式I=i=0对于/&)是M次代数多项式时是精确成立的,但对于〃+1的代数多项式不能再精确成立那么,就称上血的求积公式貝有斤次代数精度。由概念可以百•接得到这样的结论(1)插值熨求积公式至少具有斤次代数精度。容易证明第二个结论:(2)当斤为偶数的时候插值型求积公式至少具有斤+1次代数精度。由代数精度的概念出发,再加上积分小值定理可以得到一些低阶

4、的求积公式的余项估计。4、梯型求积公式的余项估计为:R(T)=I-T=f/(§)(兀_aX兀_b)d兀=_/(d,b)“212辛甫森求积公式的余项估计为:=f—T/⑷仿)」「4!2丿180I2丿Cotes求积公式的余项估计为:945I4丿5、当用Newton-Cotes求积公式的时,当n很人时一样存在数值不稳定性。为了使用低阶求积公式,并£1•能达到较高的计算精度,可以将区间[d,b]做若干等分,在每个了区间[门,兀i]上使用低阶求积公式,这样的方法称为复化求积方法。若在子区间中用梯型求积公式就有:■»f{x)dx=f{x)dx=*(无+】一兀)"(兀)+/*+】))=Tji=Tn称

5、为复化梯型求积公式;若在子区间上用辛甫森求积公式,就有:打(x)dx二工「于&加i=L£(兀+1-X,J+4/Xj+/(兀+Ji=s”称为复化辛甫生求积公式;同理可得其它的复化求积公式。6、复化求积公式的余项估计是先估计每个子区间的误差,然后再取和。其过程是简单的。(请大家勿必会证明推导复化求积公式的余项表达式,并会熟练使用)儿个简单复化求积公式的余项估计:I-Tn=—广,(〃)/是区间[讣的等分步长Ir“韻豺切ic”=-警孔)广切由以上的误差估计式,在/(兀)较平坦、光滑(即光顺)的假设下,可以容易导岀复化求积过程的一个收敛加速算法:Romberg算法,町以表示为/+!几=工

6、(兀+

7、i-»)(f(%,)+f(x/+1))41Sn=-T2n-~TnC”諾S2”_右S”X齐鳥c”8、Romberg算法可以实现的前提是“/(x)较平坦、光滑”,如果这个条件不成立,那么Romberg算法的收敛是值得商榷的。为了解决这个问题,利用一致逼近的思想可以找到一个高精度的数值求积算法:Gauss求积方法,它可以达到最高的代数精度为2〃+1。一•般表达式可以写为:G二£&血)r=0其中旺,i=0,1,…,M是Gauss点,A.,i=0,1,…/是求积系数。9、利用一些插值方法可以求得在给定的那些节点上的微分值,这种方法称为数值微分。三、例题1>确定下列求积公式中的待定系数,使其代数粘

8、度尽暈高,并指出求积公式所只有的代数粘度。(1)[丿(讹=码/(—力)+血/(0)+Ahf(h)解:这是n=2的Newton-Cotes求积公式,至少具有三次代数椿度。由此可以确定它的系数,取/(x)=l,/(x)=x,/(x)=x2,/(%)=x3可得以下方程组:=A-+A。+4=2hyxdx=+hAl=0(x2dx=h2Ai+h2A.=2汕丄"T13^x3dx=-h3A^+h3A}=0A}=A.=h»3如果取f(x)=x它的积分真值为I=

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