数值分析2012总结

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1、MatIab与数值分析复习总结MATLAB部分总结：基本要求：♦掌握MATLAB的基本使用方法♦掌握MATLAB的程序设计方法♦熟悉MATALB的应用方法。基本运算♦MATLAB的通用命令和帮助命令♦矩阵函数和矩阵运算♦数组函数和数组运算♦二维绘图(plot)♦三维绘图(meshsurf)程序设计♦序结构♦程序流程控制♦M文件编写♦M文件调试符号运算♦创建、修改符号表达式和符号矩阵♦符号运算的应用Simulink工具箱♦构建模型（方框图）的过程♦仿真过程数值分析部分：基本概念1.误差与有效数字误差、误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的定义及相互关系；误差的

2、来源和误差的基本特性；误差的计算《估计》的基本方法。2.算法的适定性问题数值分析中的病态和不稳定性问题；病态问题和不稳定算法的实例分析。3.数值计算的几个注意问题数值计算的基本概念•误差概念和分析误差的定义：设x是精确值，p是近似值，则定义两者之差是绝由于精确值一般是未知的，因而△不能求出来，但可以根据测量误差或计算情况估计它的上限x-p<£S称为绝对误差限。相对误差定义为绝对误差与精确值之比称为相对误差限•误差的来源：舍入误差将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似数的处理方法称为舍入方法。带来舍人误差。截断误差用数值法求解数学模型时，往往用简单代替复杂

3、，或者用有限过程代替无限过程所引起的误差。•有效数字对于a二aOa1…am.am+1…am+n(a0=/=0)则称a为具有m+n+1位有效数字的有效数，其中每一位数字都叫做a的有效数字。有效数和可靠数的最末位数字称为可疑数字有效数位的多少直接影响到近似值的绝对误差与相对误差的大小。推论1对于给出的有效数，其绝对误差限不大于其最末数字的半个单位。x=+0.a}a2--anxlOw

4、A

5、=

6、x-Z

7、<-xlO/w-w推论2对于给出的一个有效数，其相对误差限可估计如下：X=X10"7

8、Ar(x)

9、<-xlO^•数值计算的算法问题“良态”问题和“病态”问题在适定的情况

10、下，若对于原始数据很小的变化5X，对应的参数误差5y也很小，则称该数学问题是良态问题；若5y很大，则称为病态问题。病态问题中解对于数据的变化率都很大，因此数据微小变化必将导致参数模型精确解的很大变化。数学问题的性态完全取决于该数学问题本身的属性，在采用数值方法求解之前就存在，与数值方法无关。稳定算法和不稳定算法如果用数值方法计算时，误差在计算过程中不扩散的算法称为稳定算法。否则称为不稳定算法。•数值计算应注意的问题避免相近二数相减；避免小分母；避免大数吃小数；选用稳定的算法。绝对误差的运算：£（X,±X2）=£（X,）+£（X,X2）«

11、x,

12、£（X2）+x

13、2

14、^（X,）£（f（X））«

15、/（X）

16、^（X）线性方程组求解的数值方法:1.高斯消元法消元法的实现过程；主元问题。2.矩阵分解矩阵LU分解的一般计算公式；利用LU分解的线性方程组求解方法;ChoIesky分解；Matlab的ChoIesky分解函数。3.向量范数与矩阵范数向量范数及其性质；矩阵函数及其性质；常用范数形式。4.线性方程组的迭代法求解迭代求解的思路；Jacobi迭代法；高斯_赛德尔迭代法；迭代法的收敛性。5.方程组的病态问题与误差分析线性方程组解的误差分析；条件数和方程组的病态性。消元法:问题：消去法是按照系数矩阵的主对角线上的元素(主元)进行

17、消元。从而可能出现：(1)某个主元为零，导致消元过程无法进行。(2)当某个主元的绝对值很小时，计算结果误差很大。全主元消去法每一步选绝对值最大的元素为主元素。I.=max

18、av0;kJk々

19、aik

20、^0k

21、，则存在非奇异下三角阵L使得A=。若限定£对角元为正，则分解唯一。Matlab中的Choiesky分解函数:choI()向量和姐阵的范数为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，引进向量(矩阵)的范数的概念。向量范数定义：/?"空间的向量范数

22、

23、•II对任鸯，满足下列条件：(1)

24、

25、x

26、

27、>0;

28、

29、x

30、

31、=0«x=0(正定性)(2)

32、

33、ax

34、

35、=

36、a

37、-

38、

39、x

40、

41、aeC(齐次性)常用范数:(3)

42、

43、%+y

44、

45、<

46、

47、x

48、

49、+

50、

51、y

52、

53、C三角不等式)n=s1-^//=1l/2El-J2

54、列条7?"xw空间的向量范数11.11