2012数值分析试卷答案

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1、昆明理工大学2012级硕士研究生试卷科目：数值分析考试时间：出题教师：集体考生姓名：专业：学号：题号一二三四五六总分分数考试要求：考试时间150分钟；填空题答案依顺序依次写在答题纸上，填在试卷卷面上的不予计分；可带计算器。一、填空题（每空2分，共40分）1．设是真值的近似值，则有  位有效数字，的相对误差限为。2．设，则，。3.过点和的二次拉格朗日插值函数为=，并计算。4．设在上的最佳二次逼近多项式为，最佳二次平方逼近多项式为。5．高斯求积公式的系数，，节点，。6．方程组，建立迭代公式，写出雅可比迭代法和高斯-赛德尔

2、迭代法的迭代矩阵，，。7．，其条件数。8．设，计算矩阵A的范数，=，=。9．求方程根的牛顿迭代格式是             。10．对矩阵作LU分解，其L=________________，U=__________________。二、计算题（每题10分，共50分）1.求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足:并写出其余项表达式（要求有推导过程）。2.若用复合梯形公式计算积分，问区间[0,1]应分成多少等分才能使截断误差不超过?若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间[0,1]应该分成多少等份?由下表数据，

3、用复合辛普森公式计算该积分的近似值。00.250.50.75111.281.642.112.713.线性方程组，其中，，（1）建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的分量形式。（2）问雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛吗 ?4.已知如下实验数据,用最小二乘法求形如的经验公式，并计算最小二乘法的误差。1234544.5688.55.用改进的欧拉公式(预估-校正方法)，解初值问题，取步长计算到（保留到小数点后四位）。三、证明题（共10分）1．如果A是对称正定矩阵，则A可唯一地写成，其中L是具有正对角元的下三角阵。昆明理

4、工大学2012级硕士研究生试卷答案一填空题（每空2分，共40分）1.20.025或0.02162.303.，34.5.0.280.390.290.826.7.18.

5、A

6、

7、1=3_，9.10.，二、计算题（每空10分，共50分）1．求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足:P(0)=0，P’(0)=0，P(1)=1，P’(1)=1，P(2)=1，并写出其余项表达式。解：由题意P(x)=x2(ax2+bx+c)，由插值条件得方程组求解，得a=1/4，b=–3/2，c=9/4。所以插值余项为2．若用复合梯形公式计算

8、积分，问区间[0,1]应分成多少等分才能使截断误差不超过？若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间[0,1]应该分成多少等分？由下表数据用复合辛普森公式计算该积分。00.250.50.75111.281.642.112.71解：由于，则在区间[0,1]上为单调增函数，b-a=1，设区间分成n等分，则h=1/n.,故对复合梯形公式，要求，即，，因此n=213，即将区间[0,1]分成213等分时，用复合梯形计算，截断误差不超过。若用复合辛普森公式，则要求，，，因此n=4，即将区间[0,1]分成8等分时，用复合梯形计算，

9、截断误差不超过。3.线性方程组，其中，，（1）建立Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）问Jacobi迭代和Gausse-Seidel迭代法都熟收敛吗？解：（1）Jacobi迭代法的分量形式，为任意初始值。Gauss-Seidel迭代法的分量形式，为任意初始值。(2)Jacobi迭代法的迭代矩阵，故Jacobi迭代法不收敛。Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵，故G-S迭代法收敛。4.已知实验数据，如下表，用最小二乘法求形如的经验公式，并计算均方误差。1234544.5688.5解：

10、令故由法方程得线性方程组解得于是所求拟合曲线为2-范数的误差5.用改进的欧拉公式（预估-校正方法）解初值问题，为步长，（1）取步长计算到（保留到小数点后四位）。解：（1）由改进的欧拉公式因为，所以0，=0.00050.0015=0.0030三、证明题（共10分）1、证明：如果A是对称正定矩阵，则A可唯一地写成，其中L是具有正对角元的下三角阵。法一：因为A对称正定，A的所有顺序主子式不为零。A有唯一的Doolittle分解其中D为对角阵，为单位上三角矩阵。又因为A是对角正定矩阵=由分解的唯一性，代入分解式子又A对称正定

11、知道所以，其中为对角元为正的下三角矩阵。