2012数值分析试题及答案.doc

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1、总分一二三四五六班　级学　号姓　名…………○…………密…………○…………封…………○………线……………………东北大学研究生院考试试卷2012　—2013　学年第　　一　学期课程名称：数值分析(共2页)二、（10分）已知求线性方程组的迭代格式:(1)求此迭代法的迭代矩阵；(2)证明：当是严格对角占优矩阵，时，此迭代格式收敛.解：迭代法的矩阵形式为：所以，迭代矩阵为.当是严格对角占优矩阵，时，由于，所以，迭代格式收敛.三、（12分）说明方程有唯一根，并建立一个收敛的迭代格式，使对任意初值都收敛，说明收敛理由和收敛阶。解：记，则连续,且，而且，，所

2、以，方程有唯一根，且在区间内。建立迭代格式：由于，迭代函数在区间上满足条件：，所以，此迭代格式对任意都收敛。因此，对任意初值都收敛。又由于，，所以，此迭代格式1阶收敛。一、填空题：（每题5分，共50分）1.设近似值的相对误差限为10-5，则至少具有(5)位有效数字.2.设矩阵，则的Doolittle分解式是()，Crout分解式是（）.3.解线性方程组的Jacobi迭代矩阵的谱半径(2/3).4.迭代格式求根是(3)阶收敛的.5.设，用以为节点的二次插值多项式近似的值，误差为.6.设，则差商，.7.区间上权函数为的二次正交多项式设＝（）.8．

3、对离散数据的拟合曲线的均方差为().9．设求积公式是插值型求积公式，则积分系数.10．.求解常微分方程初值问题的差分公式的绝对稳定区间是((-2,0)).六、（8分）设是以为节点的一次插值多项式，试由导出求积分的插值型求积公式，并导出公式的截断误差.解设由导出求积分的插值型求积公式为：由插值余项知，公式至少具有1次代数精度，于是有：,即：.所以，由导出求积分的插值型求积公式为：容易验证此公式具有3次代数精度，即对次数不大于3次的多项式精确成立，记为在区间的3次Hermite插值多项式，则有：四、(10分)利用复化Simpson公式计算定积分的

4、近似值，并估计误差。解：由于的4阶导数在上的最大值为：,所以误差为：五、（10分）设求解常微分方程初值问题：的差分公式：求此差分公式的阶。解：由于所以，所以，此差分公式是1阶方法。…………○…………密…………○…………封…………○………线………………………………○…………密…………○…………封…………○………线……………………