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1、数值分析(2012)Ex1.证明方程1–x–sinx=0在区间[0，1]上有一根。使用二分法求误差不大于0.5×10-4的根需二分多少次？Ex2.设x*是非线性方程f(x)=0的单根，证明在牛顿迭代法中，有Ex3.设a为正实数，试建立求(1/a)的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑迭代公式产生的数列{xn}的收敛性.Ex4.分析下列方程，确定方程的全部隔根区间（1）xsinx=1；（2）sinx–e-x=0；（3）x=tanx；（4）x2–e-x=0。Ex5.对于二元方程G(x，y)=0，已知（x0，y0）满足方程。如果，则根据隐函数存在定理，
2、在点x0附近有函数y=y(x)，对于接近于x0的自变量x，试构造牛顿迭代法计算隐函数值的迭代格式。Ex6.设割线法迭代数列{xn}收敛到非线性方程f(x)=0的单根x*。利用牛顿插值公式计算Ex6.证明对任意的x0<0,由迭代格式(n=0,1,……)产生的迭代序列{xn},均收敛于-。Ex7.设数列{xn}具有一阶收敛速度,其极限值为x*，试利用近似关系推导加速收敛公式Ex8.对于复变量z=x+iy的复值函数f(z)，应用牛顿迭代公式求方程f(z)=0的复根时，有迭代公式为了避开复数运算,令zn=xn+iyn,f(zn)=An+iBn，f’(zn)=Cn+iDn
3、试证明用于计算的公式Ex9.确定求解方程f(x)=0的割线法计算公式(n=0,1,2,·····)Ex10.证明矩阵A的谱半径与A的范数有如下关系ρ(A)≤
4、
5、A
6、
7、其中，
8、
9、A
10、
11、为A的任何一种算子范数。的收敛阶Ex11.对下列矩阵做LU分解Ex12求上三角(下三角)矩阵的条件数Ex13.对任意x，y∈Rn，利用向量范数的三角形不等式证明：Ex14.设X∈R,X=(x1，x2，……，xn)T，求证Ex15.设X是n维向量,A是n×n阶矩阵.求证:Ex17.有方程组Ax=b,其中A为对称正定阵,且有迭代公式讨论使迭代序列收敛的的取值范围.Ex16.对n阶矩阵A
12、,设A的顺序主子式都不为零,试证明消元过程中出现的Frobenius矩阵有如下性质Ex18.设有方程组Ax=b，其系数矩阵主对角元aii≠0(i=1，2，…，n)证明解方程组的Jacobi迭代法收敛的充要条件是的根满足
13、
14、<1。Ex19.设A是对称矩阵，将A分裂为A=D–L–U。Gauss-Seidel迭代格式的向前和向后两种形式分别为x(k+1)=x(k)+(D–L)-1(b–Ax(k))x(k+1)=x(k)+(D–U)-1(b–Ax(k))如果将向前和向后迭代格式交替进行，则有x(k+2)=x(k)+M-1(b–Ax(k))试证明：M-1=(D–U)-1
15、D(D–L)-1。Ex20设h=1/(n+1)，分析n阶矩阵的Jacobi迭代矩阵特征值Ex21.将拉格朗日二次插值的三个基函数分别展开成幂函数形式试分析矩阵的数学意义，该矩阵是否可逆？Ex22.求经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，3)三个样点的插值多项式Ex23.已知函数y=f(x)的数据如下表x–101y-101y’0确定三次插值多项式P3(x)及其插值误差R(x)Ex24.求证:两点Hermite插值的误差Ex25．已知函数f(x)在三个相异结点x0，x1，x2，处的函数值y0，y1，y2，且函数在点x1处的导数值为m1，推导三次插值多项式P(x)及
16、其插值余项R(x)的表达式Ex26.已知实验数据如下：x1234y10305080求二次多项式拟合函数P(x)=a+bx2Ex27利用数据表t–2–1012yyk-2yk-1ykyk+1yk+2求线性拟合函数P(t)=a0+a1t的常数项系数a0。Ex28*.最小二乘逼近与最小平方逼近的关系在区间[0，1]上取m+1个等距点(k=0，1，2，…，m)对抛物线y=x2做线性拟合.试证明当时，线性拟合函数为平方逼近问题的解。Ex29.推导左矩形求积公式Ex30.求复合中矩形公式的截断误差Ex31.取h=(b–a)/3，令x0=a，xj=a+jh（j=0，1，2，3）
17、。利用两点插值公式求下面开型数值求积公式的系数A1、A2Ex32.给定积分当要求误差小于10-3时用复合梯形公式计算时,需要计算多少次函数值？Ex33.验证，复合梯形公式与复合Simpson公式之间有如下关系Ex34.试推导数值微分公式的截断误差。Ex36.证明改进的欧拉公式能精确地解微分方程y’=－2ax试从欧拉公式的阶与精确解的解析解来说明Ex35.设函数f(x)在区间[a，b]上具有五阶连续导函数。取h=(b–a)/n，令x0=a，xj=a+jh。求证，下面数值二阶导数的差分格式具有4阶精度Ex37.Adamas公式求一阶常微分方程，两步显格式和隐格式yn
18、+2=yn+1+h[3f
