数值分析课程总结

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1、数值分析课程总结总结课程内容1误差了解误差的来源与分类及误差的基本概念与性质；熟悉绝对误差及绝对误差限、相对误差及相对误差限和有效数字之间的关系；掌握一元和二元函数的误差估计式并会应用；熟悉减小误差的积累和传播应注意的几大原则和通常做法。2插值法掌握Lagrange插值、Neite插值的构造和计算；掌握这些插值函数的余项表达式的求法、形式、作用及估计；了解用插值基函数思想求任何插值条件的插值函数问题；了解分段插值及三次样条函数插值的构造思想、特点和计算方法；了解差商和差分、等距结点插值的基本性质。3曲线拟合与函数逼近掌握曲线拟合的有关概念、意义和推导过程；掌握应用最小二乘

2、原理求矛盾方程组的最小二乘解；了解函数逼近的有关概念、意义和推导过程；掌握求解最佳一致逼近和最佳平方逼近函数的方法；熟悉求连续函数的最佳平方逼近及由离散点求曲线拟合的方法；了解正交多项式特点及性质，会求连续函数的最佳一致多项式逼近。4数值积分与数值微分理解机械求积公式及代数精度概念；掌握确定求积公式的代数精度的方法；掌握Neberg算法及Gauss求积公式的构造技术、特点及余项形式；掌握复化梯形求积公式、复化Simpson求积公式的构造技术及余项形式；了解上述求积公式的适用类型并会熟练使用这些公式做数值积；了解数值微分法以及Neberg算法与埃特金方法４、高精度求积公式：

3、Gauss求积公式二、要点１、若要求积分I??f?x?dx，当f?x?的解析表达式未知或其解析表达式不易于计算积分值ab时，可以考虑用数值的方法求得它的一个近似值I*。如果已知函数f?x?在n?1个节点上的值f?xi?,i?0,1,?,n，那么可以用这些节点构造一个插值多项式Pn?x?，用Pn?x?近似表示f?x?，并用I?*?nbaPn?x?近似表示I，这时nbnI*??bbaPn?x?dx???f?x?l?x?dx??f?x??l?x?dx??Af?x?aiiii?0i?0aiiii?0nb上式就称为插值型求积公式。更一般地，如果一种求积公式可以写为：I??f?x?d

4、xa?I*??Af?x?iii?0就称为机械求积公式，显然，插值求积公式就是一种机械求积公式。２、在上述的插值型求积公式中，特别地，当给定的n?1个节点是等距的时候，构造出来的求积公式称为Neberg算法，可以表示为Tn?Sn?Cn?Rn??i?1?????????x?xfx?fxiii?1?2i?1???13Tn115163(来自:.SmhaiDa.海达:数值分析课程总结)43T2n?16156463SnCnS2n?C2n?８、Romberg算法可以实现的前提是“f?x?较平坦、光滑”，如果这个条件不成立，那么Romberg算法的收敛是值得商榷的。为了解决这个问题，利用

5、一致逼近的思想可以找到一个高精度的数值求积算法：Gauss求积方法，它可以达到最高的代数精度为2n?1。一般表达式可以写为：G??Af?x?iii?0n其中xi,i?0,1,?,n是Gauss点，Ai,i?0,1,?,n是求积系数。９、利用一些插值方法可以求得在给定的那些节点上的微分值，这种方法称为数值微分。三、例题１、确定下列求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指出求积公式所具有的代数精度。?1??h?hf?x?dx?A?1f??h??A0f?0??A1f?h?解：这是n?2的Nepson求积公式、Cotes求积公式计算积分?edx，并估计各种方法的误差（要求小

6、数点后至少保留5位）解：运用梯形求积公式?1x10edx?2?e?e1??1.8591409其误差R?f???1?3112e?1?0??12e?0.22652应用Simpson求积公式，?1exdx?1?104e2?e1?06?e???1.718861??其误差为R?f???12880e??e2880?0.000944应用Cotes求积公式，有?1x1?11304247e1?0edx?90?7e?32e?12e?32e???1.7182827??其误差为：6R?f???2?1??2e945??e??4?0.0000014?4?9456４、推导下列三种矩形求积公式?baf?

7、x?dx??b?a?f?a??f'???22?b?a??bf'???af?x?dx??b?a?f?b??2?b?a?2?bf?x?dx??b?a?f??a?b?f''???a?2???24?b?a?3解：将f?x?在x?a处Taylor展开，得f?x??f?a??f'????x?a?,???a,x?两边在?a,b?上积分，得?baf?x?dx??bf?a?dx?ba?af'????x?a?dx??b?a?f?a???baf'????x?a?dx??b?a?f?a??f&#