第3章单自由度体系5(直接积分法)

《第3章单自由度体系5(直接积分法)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第三章单自由度体系直接积分法主要内容•两种直接积分方法（1）中心差分法（2）Newmark—β法•数值积分的稳定性•了解算法阻尼（数值阻尼）现象1.数值积分概述（直接积分法，逐步积分法）(DirectIntegrationMethods,Step-by-StepMethods)运动方程：muctuktu""+()"+=()pt()Indirectintegrationtheequationsofequilibriumareintegratedusinganumericalstep-by-stepprocedure,theter

2、m‘direct’meaningthatpriortothenumericalintegration,notransformationofequationsintoadifferentformiscarriedout.(K.J.Bathe,FiniteElementProcedures,Prentice-Hall,1996.)Twoideas:(1)运动方程并不在任何时间t都得到满足，而仅仅是在以时间间隔为Δt的离散时间点上得到满足。(2)在时间间隔Δt内，对位移、速度和加速度的变化作出某些假定。1.数值积分概述常用的数值积分

3、方法：（1）分段解析法；（2）中心差分法；（3）Runge-Kutta法；（4）Houbolt法；（5）平均加速度法；（6）线性加速度法；（7）Newmark—β法；（8）Wilson—θ法；（9）HHT法(Hilber-Hughes-Taylormethod)；（10）精细积分法；……1.数值积分概述一种逐步积分法的优劣，主要由以下四个方面判断：(1)收敛性：当Δt→0时，数值解是否收敛于精确解；(2)计算精度：截断误差与时间步长Δt的关系，若误差∝O(Δtn)，则称方法具有n阶精度；(3)稳定性：随时间步数i的增大，数值解

4、是否变得无穷大（远离精确解）；(4)计算效率：所花费的计算时间。一个好的方法首先必须是收敛的、有足够的精度（例如二阶，满足工程要求）、良好的稳定性、较高的计算效率。1.数值积分概述数值积分分类：按计算t时刻的解所需运用平衡方程，可分为：i+1隐式积分方法（implicitintegrationmethods）：t时刻的解要运用t时刻的动平衡来获得。i+1i+1计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的平方成正比，例如Newmark—β法、Wilson—θ法。显式积分方法(explicitintegrationmethods)：t

5、时刻的解是利用t时刻的动平衡来获得。计i+1i算工作量小，增加的工作量与自由度成线性关系，如中心差分方法。1.数值积分概述数值积分分类：按计算稳定性对计算时间间隔Δt的要求，分为：条件稳定（conditionallystable）：只有当Δt

6、epintegrationmethods）：仅需已知t时刻的解，如Newmark—β法。i多步法(multi-stepsintegrationmethods)：两步法需要已知t时刻和t时刻的解。如中心差ii-1分方法。1.数值积分概述数值积分构造常用手法：（1）基于激励函数插值法（2）基于有限差分法（3）基于加速度假定法1.数值积分概述一般时域逐步积分法的构造所谓的时域逐步积分方法就是构造出根据某一时刻及其以前时刻的运动，推算下一时刻运动的递推计算公式。具体情况可表述为，设体系在t及t以前时刻的运动已ii知，求t时刻的运动（t

7、＝iΔt）。i＋1i体系在t时刻的运动包括：位移、速度和加速度，需i＋1要有三个方程（条件）求这三个量。因此，除体系的运动方程外，还需补充两个方程（条件）。mu""(t)+cu"(t)+ku(t)=p(t)1.数值积分概述一般时域逐步积分法的构造两个补充方程可以通过对运动状态的假设得到。体系在t及t以前时刻的运动已知，则t时刻的运动可采用Tayloriii＋1级数展开：23ΔΔttuut=+Δu""+uu""+""+?iii+1ii262Δtuut"=+Δ+"u"""""u+?iii+1i2如果假设在t和t时刻，即Δt时间段内

8、，体系的加速度为常数ii＋1a，则"""u=0i因此，t时刻体系的速度和位移为：i＋12Δtuut=+Δ+u"aiii+12uut""=+Δaii+11.数值积分概述一般时域逐步积分法的构造令t和t时间段内的常加速度a=(ü+ü)/2，则ii＋1i+1i得到：2Δtuu""+