单自由度体系的自由振动

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1、§10-2单自由度体系的自由振动研究单自由度体系的自由振动重要性在于：1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。IIm+αm柱厂房排架水平振时的计算简图自由振动反映了体系的固有动力特性。1自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。静平衡位置m获得初位移ym获得初速度自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。研究方法及要解决的问题包括：1、建立振动方程2、求解振动方程3、计算自振频率、周期2一、运动微分方程的建立原理：达朗伯原理刚度法：研究

2、作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。mky(t)ymkymmky.myk单自由度体系自由振动的微分方程3二、自由振动微分方程的解改写为其中它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：积分常数C1，C2由初始条件确定设t=0时4由式可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速度v引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动,c式改写成它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定振幅相位角令5y0ty-yTTTyt0yt0A-A6三、结构的自振周期和频率由式及图可见位移方程是一个周期函数。Tyt0A

3、-A周期－工程频率－园频率－计算频率和周期的几种形式频率和周期的讨论1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；2.Ｔ与m的平方根成正比，与k成反比，据此可改变周期；3.是结构动力特性的重要数量标志。7例1.计算图示结构的频率和周期。mEIl/2l/21例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。mlA,E,IE,I1E,A1IIEI1=mhk例3.计算图示刚架的频率和周期。由截面平衡8例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2

4、mmm解：1）求δP=13l/165l/32P=1l/2据此可得：ω1׃ω2׃ω3=1׃1.512׃2结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。9四、简谐自由振动的特性由式可得，加速度为：在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。它们的幅值产生于时，其值分别为：既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，结果把微分方程转化为代数方程了，

5、使计算得以简化。惯性力为：10例5.计算图示体系的自振频率。ABCDEI=l/2l/2lkBCk..A1..A2解：单自由度体系，以表示位移参数的幅值,各质点上所受的力为：建立力矩平衡方程化简后得11作业13-3，13-412