单自由度体系的振动

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1、第3章单自由度体系的振动在结构动力学中，单自由度体系的振动是最简单的振动，但这部分内容又十分重要，因为从中可得到有关振动理论的一些最基本的概念和分析问题的方法，同时它也适用于更为复杂的振动问题，是分析多自由度体系振动问题的基础，因此搞清楚了单自由度体系的振动，将有助于我们提高分析和解决其他各种振动问题的能力。另外在实际工程中，确实有许多振动问题，可简化为单自由度问题，或近似地用单自由度理论去分析解决。本章按有阻尼和无阻尼体系研究自由振动，强迫振动，对弯曲振动做详细讨论，简要陈述剪切振动和旋转振动。单自由度体系

2、可按如下情况对振动进行分类：自由振动无阻尼体系强迫振动单自由度自由振动有阻尼体系强迫振动预备知识2①齐次微分方程：yy0的通解：yt()C12costCsint，其中CC1,2:微分常数，由初始条件确定。yxt,②y()tC12sintCcostt2yxt,22y()tC12costCsint2tix③excosisinxee()rr12r1er2④单质点体系一般振动形式：mycykyPt(

3、)去掉阻尼cy和外力Pt()影响，即可得到无阻尼体系自由振动。222⑤yyP()t的解为yy0的通解，加上yyP()t的特解组成。通解：yAtsin()11t特解：yFt()sin()d20解为通解特解：301tyAsin(t)F()sin(td)012EI⑥如果杆件的刚度为EI，则两端刚结的杆的侧移刚度为；一端铰结的杆的侧移刚度3l3EI为。3l§3.1无阻尼体系自由振动3.1.1弯曲振动和剪切振动图3.1(a)所示为无阻

4、尼、单自由度的悬臂梁体系，取出质量隔离体，在其上施加惯性力my，如图3.1(b)所示，由y0得：myky0（3.1）设：k（3.2）m式中:——质点振动圆频率(a)(b)图3.1无阻尼单自由度体系将式（3.2）代入式（3.1），得：2mymy0整理得：2yy0（3.3）式（3.3）为齐次微分方程，其通解为:yt()C12costCsint（3.4a）31式中，CC12,:任意常数，由初始条件确定。任一瞬时的速度：y()tc12sintccos

5、t（3.4b）设，t0时：y(0)y（3.5a）0y(0)（3.5b）0将式（3.5a）代入式（3.4a）则：yCCCcos0sin00121Cy（3.6）10将式（3.5b）代入式（3.4b）则：y(0)CCCsin0cos001220C（3.7）2将式（3.6）和（3.7）代入（3.4a），得0yt()ycostsint（3.8）0则本问题的解为:0位移：yt()ycostsint（3.8）0速度：yt()ysintc

6、ost（3.9）00式（3.8）还可以表示为：02200yyytcossint（3.10a）0222200yy00令：0y0sincos（3.10b）222020yy00代入（3.10a）得到一种更为简练表达方式：yAtt(sincoscossin)（3.11a）32即：yAsin(t)220Ay()（3.11b）01y0

7、tanv0绘制成图形，得到图3.2所示的yt关系正弦曲线。图3.2无阻尼单自由度体系振动位移-时间曲线由图3.2可要看出，初相位yA(sincos0cossin0)Asin，结构振动的0t0位移是按正弦（或余弦）规律在静力平衡位置附近，上、下变化着，凡是满足这种关系的振动，称为简谐振动，简称谐振动。下面简要介绍和谐振动相关的一些物理量1.周期和频率结构重复出现同一种运动状态（包括位移、速度等）的最短时间称之为周期。用符号T表示，单位为（s）。单位时间振动次数称之为频率。用字母f表示，单位

8、为（Hz），它与周期T的关系为：1f（Hz）（3.12a）T如果时间单位取2(s)，此时的振动次数称为圆频率，常用符号表示，其单位是rads/因为其单位与角速度的单位相同，因而也称为角频率。角频率与频率f及周期T的关系为：2Tf（3.12b）2工程上还常用1min内振动的次数表示频率，称工程频率，用字母n表示，工程频率n与频率f的关系为：nf60（3.12c）下面给出圆频率常