1 单自由度体系的自由振动

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1、§1单自由度体系的自由振动一、无阻尼的自由振动：如下图，以单自由度体系为例，设此梁上的集中质量为m，其重量为，梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用表示，与相应的质量位置称为质量的静力平衡位置。若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。1、建立运动方程建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。今考虑在振动过程的某一瞬时t，设质量在此瞬时离开其平衡位置的位移为y，取质

2、量为隔离体，则在质量上作用有三种力：质量的重量W，杆件对质量的弹性恢复力S和惯性力F(t)。根据达朗伯原理，这三个力应成平衡，即W+S+F(t)＝0（1）在弹性体系中，弹性恢复力S为上式中的K为一常数，称为刚度系数，代表简支梁上使质量在运动方向产生单位位移时需要加在质量上的沿质量运动方向的集中力的量值。式中负号表示的指向和位移的方向相反。而即因此，将和代入式（1）得（2）上式表明，如果以静力平衡位置作为计算位移的起点，则建立体系的运动方程时，可以不考虑重力W的影响。这对其他体系的振动（包括受迫振动）也同样适用。将代入式（2）得：令（速度）（加速度）则可变为（3）此为单自由度体系无阻尼自由振动

3、的运动方程，它反映了这种振动的一般规律。若采用柔度法建立运动方程（建立位移方程），以静力平衡位置作为计算位移的起点，则梁在质量m处除惯性力这个假想的外荷载作用外，再无其他外力作用。所以由达朗伯原理可知，梁在集中质量m处任一运动瞬时的位移为即（4）式中为一常数，代表简支梁上集中质量处在质量的运动方向作用单位荷载时所产生的静力位移。称为结构的柔度系数，它与刚度系数的关系为则（4）式可变为式中与建立质量动平衡方程所得的结果相同。2、运动方程的解式（3）为二阶常系数线性微分方程，其通解为（5）取对时间的一阶导数，则该体系在任一瞬时的速度为式中的常数和可由初始条件得出。设时，则代入（5）得（6）（7）

4、在以上各式中，及各称为初始位移和初速度。式（6）也可写成单项式：（8）再将其展开得：（9）比较（6）和（9）得式表示一简谐振动，代表最大的位移，称为振幅；称为初相角，最大位移的初相角均决定于质量的初位移及初速度。在简谐振动中，位移、速度和加速度等物理量均按正弦或余弦规律变化，而正弦或余弦函数是周期函数，所以它们都是周期振动，每经历一定时间，结构出现前后同一运动状态（包括位置、速度等）所需的时间间隔称为振动周期，用符号表示。由式（8）可知，在时间由经过以后，该式变为即在时间由经过后，结构出现前后相同的运动状态，故周期为，单位为秒。令，为频率。则，称为圆频率，也为自振频率。据得此为单自由度体系无

5、阻尼自由振动时自振频率的计算公式。由上式可以看出，自振频率只与反映结构固有属性的结构刚度和质量有关，而与外界引起自由振动的初始条件无关，所以也常将自振频率称为固有频率。结构在振动过程中的许多动力特性，都与反映结构固有属性的自振频率有关。如果单自由度体系上的质量m维持不变，但增加体系的刚度，则体系的自振频率将增大；相反，如果体系的刚度维持不变，而是增加体系的质量，则体系的自振频率将减小。在解决实际结构振动问题时，可以根据此规律，通过调整结构的自振频率，达到调整结构动力反应的目的。例题1、图示一等截面简支梁，截面抗弯刚度为，跨度为，在梁的跨度中点有一集中质量m，如果忽略梁本身的质量，试求梁的自振

6、周期和自振频率。解：对于简支梁，在集中质量m处施加单位力，即可求出柔度系数：2、图示一等截面竖直悬臂杆，长度为，截面面积为，惯性矩为，弹性模量为，杆端重物重为，设杆件本身质量可以忽略不计，试分别求水平振动和竖向振动时的自振周期。解：水平振动时柔度系数为竖向振动时二、有阻尼的自由振动：质量的自由振动实际上不可能延续无限长时间，因为质量的振动一般受到阻尼的影响。阻尼可来自不同方面，如介质（空气、液体等）的阻力、支承部分的摩擦等，此处考虑的是一种粘滞阻尼，其与速度成正比，用表示。即式中称为阻尼系数，负号表示阻力的方向与速度的方向相反。1、建立运动方程：考虑阻尼时，在质量上有三种力作用：杆件对质量的

7、弹性恢复力、阻力和惯性力。根据达朗伯原理，得即令（阻尼比）且则（10）此为二阶常系数齐次线性微分方程2、运动方程的解：二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程为其根为由于根号里的值可能为正、负或零，所以应分三种情况（即，，）来讨论方程的解。（1）当时，满足这一条件的阻尼，称为小阻尼情况。这时特征方程的根、是一对复根，即则（10）式的通解为：（11）其中常数及可由初始条件决定。设时，，则（11）式可写成：（12）亦