单自由度体系建立振动方程

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时间:2018-11-28

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1、单自由度体系 建立振动方程重点:建立方程难点:达朗贝原理建立方程柔度系数、刚度系数单自由度体系的自由振动自由振动:体系在振动过程中没有动荷载的作用。静平衡位置m获得初位移ym获得初速度自由振动产生原因:体系在初始时刻(t=0)受到外界的干扰。研究单自由度体系的自由振动重要性在于:1、它代表了许多实际工程问题,如水塔、单层厂房等。2、它是分析多自由度体系的基础,包含了许多基本概念。自由振动反映了体系的固有动力特性。频率、周期、振型等应用条件:微幅振动(线性微分方程)1.阻尼力称为粘滞阻尼力,阻尼力

2、与运动方向相反一切引起振动衰减的因素均称为阻尼,包括:①材料的内摩擦引起的机械能转化为热能消失②周围介质对结构的阻尼(如,空气的阻力)③节点,构件与支座连接之间的摩擦阻力④通过基础散失的能量一、刚度法建立振动方程:P(t)y(t)EI考虑图示单质点的振动过程。杆件的刚度为EI,质点的质量为m,时刻t质点的位移y(t)考虑质点任意时刻的受力平衡阻尼器简介位移感应电流(电压)变化液体粘性变化磁流变阻尼器P线圈P普通油压阻尼器应用实例构造说明2.弹性恢复力FE=-Ky(t),K为侧移刚度系数,弹性恢复力

3、与运动方向相反3.惯性力FI=,为质点运动加速度,惯性力与运动方向相反4.动力荷载P(t),直接作用在质点上,它与质点运动方向相同5.振动方程的建立FDFEFIP(t)mP(t)y(t)EI例题1:已知,阻尼系数为CADEFGCEI=∞K1K1K2试建立体系的运动微分方程解:1)动力自由度为1,设E处的竖向位移是y(t)ADEFGCEI=∞K1K1K2y(t)ADEFGCEI=∞K1K1K2ADEFGCEI=∞K1K1K2ADEFGCEI=∞K1K1K2EFGxy(t)RK1y(t)/22)考虑E

4、FG部分的受力由∑MG=0得:ADEFGCEI=∞K1K1K23)考虑ABDE部分的受力由∑MA=0得xC/32K1y(t)/3y(t)ADER由以上两式消去R后整理得m..yj.yd静平衡位置质量m在任一时刻的位移y(t)=yj+ydk力学模型.ydmmWS(t)I(t)+重力:W弹性力:恒与位移反向惯性力:……………(a)其中kyj=W及上式可以简化为或注意:振动方程中的仅仅是动力作用下产生的,不包括静位移。可认为是从静平衡位置算起的。以后,我们也只计算动位移例题2试建立图示结构的振动方程,质

5、点的质量m,EI=常数LLmm原理:任意时刻受力平衡KK16i/L6i/L练习题1解:振动形态mEAmLLL解:振动形态mEAmBy(t)xdx建立振动方程,阻尼器的阻尼系数为C练习题2EI1=∞mCP(t)EIEI振动形态EI1=∞mLLCP(t)EIEIEI1=∞mCP(t)EIEI振动形态y(t)KK例题3----刚度法建立方程试建立图示结构的振动方程,质点的质量都是m,EI=常数LLP(t)质点受力:1.惯性力,2.刚架的弹性恢复力,3.动荷载。1.惯性力负号表示方向向左刚度法建立方程的依

6、据:质点在任意时刻受力平衡2.刚架的弹性恢复力ky侧移刚度K:质点单位侧移需施加的力11K要求K,就要取水平力的平衡yy变形图ABCDVBAVDCK因而,就要确定2个柱的剪力,这就要作出结构在侧移为1时的弯矩图。支座水平移动单位位移下引起的柱间剪力=K/2k/21等价问题1K问题Δ=1取半结构即,“支座移动”结构内力的计算问题1R6i/L6i/L4i2i6ir等价问题1位移法方程:r11θ+R=0,解得VBAK/224i/5L18i/5LM图14i2i6ir1R6i/L6i/L柔度法求K1求刚架在

7、P=1下产生的位移,再取倒数1/2用力法作出弯矩图4L/143L/14P=1L位移/力—柔度力/位移—刚度3.振动方程yy变形图ABCDP(t)FEFIEAmLLL先看一个问题:列出振动方程EALP=12质点位移由谁产生?二、柔度法建立振动方程P(t)LLL/2L/2例题4:--柔度法建立方程EI=常数,质点质量为m,建立结构的振动方程解:用柔度法建立方程的依据质点位移y(t),由质点惯性力与动力荷载共同产生。1.求惯性力为1时质点的位移δ1P=1问题求位移的方法:用位移法求位移用变形体系虚功原理

8、y(t)P(t)与刚度法对应,弹性恢复力会产生位移吗?用位移法求位移MP图R1PR2P1r11r21r12r22R1P=0,R2P=-1,r11=10i,r21=r12=3i/Lr22=18i/L2解位移法方程得:δ1=10L3/171EI2.求动力荷载为1时在质点处产生的位移δ21MP图R1PR2P1r11r21r12r22用位移法解位移法方程得:δ2=37L3/1368EI3.质点惯性力与动力荷载共同产生的位移y(t)为:y(t)P(t)能否用刚度法求解?P(t)LLL/2L/

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