动力学与控制多自由度系统数值计算(I)直接积分法

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1、2015/5/15直接积分法多自由度系统的运动方程：[M]{x}[C]{x}[K]{x}{F(t)}(1)动力学与控制初始条件：{x0()}{x},{x0()}{x}00(2)假定需要计算[0,T]时段的响应(位移、速度或者加速度向量)。为此，我们把时间全程划分为n个等距离时多自由度系统振动的数值计算间子域，记tT/n，以确定时刻(1)直接积分法tiit,i,1,0,n的近似解。下面，我们记任一向量{y(t)}在ti时刻的值为{y(t)}{y}ii2直接积分法直接积分法•算例安排对于这个算例，后面，我们将经常使用如图所示的二自由度模型

2、。100062[M],[C],[K];如果没有特别说明，取020028k1=4,k2=2,k3=6;m1=1,m2=2;0x1{F(t)},{x}.c1=c2=c3=0.10x2f1(t)=0;x1x2系统的固有特性：f2(t)=10;f(t)1f(t)2153.18077,253.25946;零初始条件。c1c23c11mm{X1}13,{X2}13.1222k12kk334直接积分法直接积分法零初始条件下的解析解为：•

3、中心差分法15253将ti时刻的速度、加速度向量近似地表示为{x(t)}{X}cos(t)11166{x}({x}{x}),ii1i12t15253(A.1){X2}cos(2t)166{x}({x}{x}{2x}).i2i1i1it51代入方程(1)，得到113112([M][C]){x}{F}([K][M]){x}2i1i2it2tt11([M][C]){x}2i1t2t记5612015/5/15直接积分法直接积分法11(A.2){x}[M]1({F}[C]{x}[K]{

4、x})(A.5)[M]([M][C])00002t2t211数值计算时，时间步长t受系统的最高频率限制，在{F}{F}([K][M]){x}([M][C]){x}ii2i2i1满足tt2t则有2t(A.6)[M]{x}{F,}i,2,1,n1(A.3)maxi1i计算是稳定的，否则可能发散。(A.3)为线性方程组，可以从中解出{x}i+1。但是,{x}1不能由此得到。引入虚拟的{x}(辅助量，没有物理这种差分格式的截断误差为t2阶的。-1意义)，根据(A.1)得到算例见Matlab程序Exam1.m。2t{x}1{x

5、}0t{x}0{x}0(A.4)2其中78直接积分法直接积分法5343•Houbolt方法{F}i1{F}i1(2[M][C]){x}i(2[M][C]){x}i1ttt2t将ti＋1时刻的速度、加速度向量近似地表示为11([M][C]){x}1t23ti2(B.3b){x}(11{x}18{x}{9x}{2x}),i1i1ii1i26t(B.1)公式(B.2)不能从i=0算起。{x}1、{x}2可以通过其它1方法得到。Houbolt所采用的方法是：根据初始条件{x}{2(x}{5x}{4x}{

6、x}).i12i1ii1i2t可以得到则有1{x}[M]({F}[C]{x}[K]{x})(B.2)0000[K]{x}{F},i,3,2,n1i1i1针对i=0构造新的差分公式其中，1{x}{2(x}{3x}{6x}{x}),21101012[K][M][C][K](B.3a)6t2t6t1{x}({x}{2x}{x}).02101t910直接积分法直接积分法由此得到根据(B.2)，得到2([K][Mˆ]){x}{Fˆ}{x}1t{x}0{2x}0{x1,}11{x}26

7、t{x}0{6x}1{3x}0{2x}1由此解出{x}1，可进一步求出{x}-1({x}-2已经不再需6t2{x}6t{x}{9x}{8x.}要)。0001代入(B.3b)，有算例见Matlab程序Exam2.m。{F}{Fˆ}[Mˆ]{x,}1147参考文献：[Mˆ][M][C],2t6tHoubolt,JhonC.t6{Fˆ}{F}1[2(M][C]){x}0([M][2C]){x}0ARecurrenceMatrixSolutionfortheDynamic2tRespo