多自由度系统的数值计算方法

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1、制作与设计贾启芬第5章多自由度系统的数值计算方法MechanicalandStructuralVibration机械与结构振动天津大学第5章多自由度系统的数值计算方法5.1瑞利(Rayleigh)能量法5.2李兹(Ritz)法5.3邓克莱(Dunkerley)法5.4矩阵迭代法5.5子空间迭代法5.6传递矩阵法MechanicalandStructuralVibration第5章多自由度系统的数值计算方法5.1瑞利(Rayleigh)能量法MechanicalandStructuralVibration5.1瑞利(Rayleigh)能量法5.1.1瑞利第一商5.1.2瑞利第二

2、商MechanicalandStructuralVibration5.1瑞利(Rayleigh)能量法5.1.1瑞利第一商设A为振型矢量，对于简谐振动，其最大动能和最大势能为对于保守系统，由能量守恒，则有若A是系统的第i阶主振型A(i)，则得相应的主频率的平方若A是任意的n维矢量，则可得称为瑞利商为了区别用位移方程求得的值，又称之为瑞利第一商。MechanicalandStructuralVibration5.1瑞利(Rayleigh)能量法5.1.2瑞利第二商瑞利商的平方根是基频p1的近似值。假设振型越接近于真实的第一阶振型，则结果越准确。通常，以系统的静变形作为假设振型，

3、可以得到较满意的结果。MechanicalandStructuralVibration用瑞利法求出的基频近似值大于实际的基频p1。这是由于假设振型偏离了第一阶振型，相当于给系统增加了约束，因而增加了刚度，使求得的结果高于真实的值。由于＞15.1瑞利(Rayleigh)能量法5.1.2瑞利第二商如果采用位移方程描述系统的运动微分方程，即前乘以同理，若A是任意的n矢量，则有称为瑞利第二商若假设振型接近于第一阶主振型时，则是基频的近似值给出同样假设振型的同一振动系统，用瑞利第二商计算的结果，要比用瑞利第一商计算的结果更精确一些。MechanicalandStructuralVibr

4、ation5.1瑞利(Rayleigh)能量法5.1.2瑞利第二商例5-1用瑞利法求图示三自由度扭转系统的第一阶固有频率的估值。已知k1=k2=k3=k；I1=I2=I3=I。解：系统的质量矩阵和刚度矩阵为逆矩阵计算得求第一阶固有频率的估值，取假设振型MechanicalandStructuralVibration5.1瑞利(Rayleigh)能量法5.1.2瑞利第二商在上面的计算中，假设振型比较“粗糙”，与该系统的第一阶固有频率，精确到第四位值的比较误差较大。MechanicalandStructuralVibration5.1瑞利(Rayleigh)能量法5.1.2瑞利第

5、二商如果进一步改进假设振型，即以静变形曲线为假设振型，设显然，在工程上，若以静变形曲线作为假设振型，可以得到很好的第一阶固有频率的近似值。MechanicalandStructuralVibration第5章多自由度系统的数值计算方法5.2李兹(Ritz)法MechanicalandStructuralVibration5.2李兹(Ritz)法用瑞利法估算的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且其值总是精确值的上限。李兹法对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频值进一步下降，并且还可得系统较低的前几阶固有频率及相应的主振型在李兹法中，系统的近似主振型假设

6、为是选取的s个线性独立的假设振型矩阵s维待定系数MechanicalandStructuralVibration5.2李兹(Ritz)法由于在系统的真实主振型处取驻值，这些驻值即相应的各阶固有频率的平方，所以a的各元素由下式确定MechanicalandStructuralVibration5.2李兹(Ritz)法n个自由度缩减至s自由度。刚度矩阵质量矩阵MechanicalandStructuralVibration5.2李兹(Ritz)法李兹法是一种缩减系统自由度数的近似方法。频率方程求出s个固有频率，即n自由度系统的前s阶固有频率。解出其相应的特征矢量求出n自由度系统的

7、前s阶主振型正交性MechanicalandStructuralVibration5.2李兹(Ritz)法对于瑞利第二商利用驻值条件可得s个方程，将其写成矩阵形式特征方程求出s个固有频率，即n自由度系统的前s阶固有频率。解出其相应的特征矢量求出n自由度系统的前s阶主振型MechanicalandStructuralVibration5.2李兹(Ritz)法例5-2用李兹法求图示四自由度振动系统的前二阶固有频率及主振型。解：由条件可求出系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵设振型MechanicalandSt