具有固定双面约束单点摩擦多体系统的数值计算方法.doc

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1、具有固定双面约束单点摩擦多体系统的数值计算方法彭慧莲王琪(北京航空航天大学理学院，北京100083)摘要研究了具有固定双面约束单点摩擦多体系统动力学方程的算法问题。首先利用第一类Lagrange方法给出了系统的动力学方程，该方程具有很强的非光滑性，不能应用已有的一些光滑系统的数值方法研究系统的动力学特性，因此，本文利用方程的特点和所求变量的物理含义，给出了一种简便的数值计算方法，该方法的计算效率和精度与迭代法相比均较高。关键字多体系统，理想约束力，Lagrange乘子，双面约束，干摩擦引言当前关于光滑多刚体系统动力学的建模和计算方法的研究已比较成熟，但在

2、实际工程应用中，干摩擦或碰撞等非光滑因素的影响却不可避免。当考虑干摩擦等非光滑因素对多刚体系统的影响时，其动力学行为就大大复杂化了[1-3]。而且，由于方程的不连续性，给数值计算带来了很多困难，已有的一些光滑系统的数值方法不能直接应用到非光滑多体系统。为研究具有干摩擦的多体系统动力学的数值算法，文献[3]应用线性互补方法给出了考虑干摩擦的单面约束多体系统的数值算法；文献[5]应用第一类Lagrange方法建立了考虑摩擦的单面约束多体系统动力学方程，并给出了相应的算法。若系统中考虑摩擦的约束面是双面的，由于干摩擦的存在，根据库仑摩擦模型，摩擦力的大小与作用

3、于约束面的法向约束力的大小成正比，方向与相对运动（或相对运动趋势）的方向相反，其动力学方程中含关于法向约束力绝对值项，因此无法将现有的光滑系统或单边约束且考虑摩擦的多体系统的数值算法直接运用到考虑摩擦双面约束的非光滑系统。文献[1,6]研究了考虑摩擦和双面约束的多体系统，给出了一种迭代方法，可分析系统的动力学特性；但是该方法在数值迭代时会出现不收敛，特别是在不连续点处收敛速度慢或不收敛，并且，系统动力学方程的建立也相当繁琐，不利于数值计算。文献[9]对一类具有双面约束单点摩擦的单自由度多体系统进行了研究，利用动量矩定理先求出法向约束力（其约束力是关于广义

4、坐标，广义速度和广义加速度的函数），然后将法向约束力的表达式代入系统的动力学方程，并且对动力学方程的结构进行了分析，利用方程的特点，给出了一种计算方法，该方法虽然可以避免迭代，但是该方法只适用于相对简单的单自由度多体系统；对于相对复杂的单自由度多体系统，动力学方程的建立和法向约束力表达式的推导比较繁琐；特别是对于多自由度非光滑多体系统，该方法也不再适用。本文利用第一类Lagrange方法建立了具有固定面双面约束单点摩擦（系统只有一个固定约束面考虑摩擦）多体系统的动力学方程，利用局部方法[7]建立了系统的约束方程，并根据系统动力学方程的特点，给出了一种通用

5、的数值计算方法，该方法不仅可以避免迭代，而且对考虑单点摩擦的多自由度固定双面约束多体系统也同样适用。1动力学方程的建立对于具有固定双面约束单点摩擦的多体系统，动力学方程可利用第一类Lagrange方法建立，其约束方程采用局部方法[7]建立。所谓局部方法，即从每个铰链的物体偶对的局部出发，根据铰链的性质建立邻接物体广义坐标间的约束方程。对于定常约束多体系统，若采用全笛卡尔坐标作为广义坐标(假设系统有个广义坐标，个独立的约束方程)，根据第一类Lagrange方程，可得系统的动力学方程：(1)其中为系统的广义质量矩阵，为Lagrange乘子，为系统的约束方程，

6、为约束方程的雅可比矩阵，是非摩擦力的广义力，为固定约束面摩擦力的广义力，与摩擦接触点的广义相对速度，广义相对加速度以及Lagrange乘子有关，由于采用全笛卡尔坐标描述系统的位形，采用局部方法建立系统的约束方程时，约束面的法向约束力与Lagrange乘子一一对应，若摩擦接触点的广义相对速度不等于零，可表示成其中表示固定约束的法向约束力，与固定约束的约束方程对应；为接触点的滑动摩擦系数；为摩擦接触点相对于约束面的广义相对速度，其值为广义坐标和广义速度的函数，并令若摩擦接触点的广义相对速度等于零，则需由摩擦接触点的广义相对加速度来判断广义摩擦力的大小，若摩擦

7、接触点的广义加速度不等于零，则可表示成其中表示固定面约束的法向约束力，与固定面约束的约束方程对应。为摩擦接触点相对与约束面的广义相对加速度，其值为广义坐标、广义速度和广义加速度的函数，并令这样，广义摩擦力用矩阵形式可表示为(2)其中。若摩擦接触点的广义相对速度和广义相对加速度均等于零，物体在该时刻处于粘着状态，广义摩擦力，其中为摩擦点的静滑动摩擦系数，一般情况下约大于，本文选取。若物体处于滑动状态，将式(2)代入方程(1)，并利用增广法和Baumgarte稳定化方法[8]，可得方程(3)若物体处于粘着状态，此时可由系统的平衡条件求得。2动力学方程的特点与

8、算法由于方程(3)的中含项，而为固定面约束的法向约束力，因为是双面约束，当时表示